dilluns, 3 de desembre de 2018

Investigacions amb fraccions (II): Fem llimonada

Per tal de treballar els conceptes bàsics de les fraccions, l'alumnat de 1r d'ESO ha realitzat un sèrie de petites investigacions. 


A partir de l'activitat que proposa en Lluís Mora a l'ARC (Anem a fer llimonada) hem realitzat una petita investigació amb l'us de les fraccions i la seva relació amb el percentatges i amb la proporcionalitat.


1a PART

Fent un cop d'ull a la xarxa buscant informació sobre el suc de llimona vam trobar la següent afirmació a la Wikipedia:



"El jugo de limón o zumo de limón es el líquido obtenido del endocarpio de los limones al ser exprimido (generalmente se hace con un aparato exprimidor de limones). Suele ser aproximadamente el 30% del peso del fruto. "

Ho anem a comprovar?
Primerament hem de tenir clar com pesar el suc de llimona. Per fer-ho pesem la llimona sencera, l'exprimim i després pesem el que ens queda:







En tenim prou comprovant-ho amb una llimona?

Evidentment les condicions d'una llimona no són suficients per arribar a unes conclusions, per això ho hem fet amb 10 llimones. Hem recollit la informació en la següent taula:



Ha sorgit el dubte de que fem amb els pinyols que han quedat a l'exprimidor. Doncs hem mirat el pes, n'hem fet la mitjana a partir de la quantitat de pinyols i els hem restat del pes del suc final:




pes de tots els pinyols
mitjana
pinyols
21 g
2,625

Pes suc final= 65,5-2,625=62,875
Percentatge suc=62,875/125,1=50,26%

Els resultats estan bastant allunyats del que diu la xarxa. 
- Sempre podem fer cas d'internet? 
- Són els nostres resultats definitius?
- Quins aspectes no hem tingut en compte?


2a PART

Tenim dues concentracions de llimonada:

- 100ml de llimona i 200ml d’aigua
- 200ml de llimona i 300ml d’aigua

Quina és més àcida?

Ens hem ajudat de les fraccions per representar la situació:



1/3 < 2/5
33,33% < 40%

Finalment també calculem els percentatges de cada concentració per confirmar la representació.

I si barregem les 2 concentracions què passara?

Pot ser la nova concentració la més àcida? I la menys?
Tornem a utilitzar les fraccions per representar-ho i comparar-ho:




Es confirma que la nova concentració ha de ser la mig, oi?

Aquí han sorgit preguntes per ampliar la investigació:
- quants mil·lilitres de llimona necessitariem per fer 5 litres de llimonada?
- quantes llimones necessitariem?
- ..................................

Després de la investigació el grup havia de realitzar un pòster científic explicant els seus resultats, que finalitzava en una presentació oral davant dels seus companys.




Aquesta investigació també es va mostrar al Dia a la Ciència al Carrer de Sitges:




1r ESO
INS Baix a Mar

divendres, 30 de novembre de 2018

Investigacions amb fraccions (I): Tots som iguals?

Per tal de treballar els conceptes bàsics de les fraccions, l'alumnat de 1r d'ESO ha realitzat un sèrie de petites investigacions. 

Com estan repartits els Premis Nobel? Aquesta és la pregunta que inicia la investigació i que té com a objectiu conéixer com són repartit els aquests premis al llarg de la història.

Primerament l'alumnat havia de fer una recerca sobre que eren aquests premis, quines categories hi havien i com s'havien repartit des de que es van crear.....

A partir d'aquí començava la part matemàtica, que relacionava les fraccions amb el càlcul de percentatges, i per tant la numeració amb l'estadística. Els resultats es recullien a la següent taula:



A la taula ja es comprova les grans diferències entres homes i dones en l'entrega dels premis. També recollien els resultats globals:


Com ho representem?
Aquesta investigació anava al Dia de la Ciència al Carrer que es realitza durant la Setmana de la Ciència al Garraf. Per tant, haviem de buscar una manera atractiva de representar-ho. Per fer-ho vam utilitzar els cigrons. Cada cigró representava una persona, i així creavem una mena de gràfics, i resultaven molt impactants a simple vista:


Nobel de Química

Totals de Nòbels


Totes les categories

Les imatges parlen per si soles......

Després de la investigació el grup havia de realitzar un pòster científic explicant els seus resultats, que finalitzava en una presentació oral davant dels seus companys. El treball va donar molt de si, i partint de les matemàtiques vam acabar parlant de les desigualtats de gènere: 

- com podia ser que aquella situació fos així?
- les dones no investiguen?
- per què el percentatge de dones és una "mica" millor en el Nobel de la Pau i Literatura?
- que podem fer per canviar-ho?



Com ja hem comentat aquest treball va ser explicat al Dia a la Ciència al Carrer de Sitges:




Activitat d'investigació i controvèrsia social, de baix pressupost i que permet acostar a l'alumnat la idea de que la ciència, a partir de l'anàlisi de les situacions, pot contribuir a fer un món més just.

1r ESO
INS Baix a Mar


dimecres, 10 d’octubre de 2018

El triangle de Sierpinski

En César Gómez i la Lucia Freijo de 4C ens expliquen l'activitat realitzada amb el Triangle de Sierpinski, així com una mica de biografia d'aquest matemàtic polonès.


Wacław Sierpiński


 

Wacław Sierpiński va ser un matemàtic polonès que va néixer el 1882 a Varsòvia i va morir el 1969 també a Varsòvia.

El 1907 es va graduar al Departament de Matemàtiques i Física de la Universitat de Varsòvia. Després de la seva graduació, Sierpiński va començar a treballar de professor a una escola de Varsòvia.

Un temps després, l’escola va tancar, i Sierpiński va decidir anar a Cracòvia per fer un doctorat. El va aconseguir el 1908, i va ser assignat a la Universitat de Leàpolis.
A part del seu treball amb els fractals, també va fer nombroses aportacions a la teoria de conjunts,
a la teoria de nombres, a la teoria de funcions i a la topologia.

Sierpiński va publicar 50 llibres i 724 treballs.

Treball a l’aula

Vam treballar el tema mitjançant l’observació, apuntant dades i analitzant-les fins a arribar a una
fórmula general.
El triangle de Sierpiński és un objecte fractal i un dels exemples bàsics de conjunt autosemblant, una de les propietats fonamentals de les fractals. Per construir el triangle de Sierpiński se segueix l'algoritme següent: A partir d'un triangle, s'uneixen els punts mitjans dels seus costats, dividint el triangle inicial en quatre triangles. S'elimina el triangle interior. En cada un dels tres triangles que queden es procedeix
a fer el pas 1 El triangle de Sierpiński és el límit de fer el procediment anterior de manera infinita.

Ho vam fer omplint la següent taula a partir de l’evolució del triangle de Sierpinski:



Primerament, vam comptar la quantitat de triangles negres, blancs i en total que hi havia a cada pas.
Al arribar al 2n pas, ens vam adonar que el número total dels triangles al següent pas seria el número
total dels triangles blancs. És a dir, que si al 1r pas hi ha un total de quatre triangles, al 2n pas hi
haurà un total de quatre triangles blancs.

Vam continuar, i quan vam arribar al 4t pas ens vam adonar d’això: el número de triangles negres és
igual a 3 elevat a n i el número de triangles blancs és igual a 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

I com vam arribar a aquesta conclusió?
Doncs bé, si us fixeu, al pas 1 hi han tres triangles negres. Al pas 2 hi ha el triple, i així
successivament. Per tant, té sentit que a cada pas s’elevi el nombre principal de triangles negres a
un número més.
En quant als triangles blancs és una mica més complicat.
Comencem pel pas 1: tres triangles negres i un de blanc.
Pas 2: nou triangles negres i quatre de blancs. Però si us ho mireu bé, cada tres
triangles negres hi ha un de blanc més l’inicial; i aquest fet es repeteix en tots els passos.

Observant això, es pot deduir que el número total dels triangles blancs és el número total dels
triangles negres menys 1 (el triangle inicial blanc) dividit entre 2.

I lògicament, després d’això ja podíem saber quants triangles hi havia en qualsevol pas,
només calia sumar les dues fórmules: 3 elevat a n + 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

Seguidament, vam calcular les àrees, la superfície blanca i la superfície negra que hi havia a cada
pas (teníem com a referència que l’àrea del triangle sencer era 1).

Vam començar amb senzillesa, comptant els triangles i després expressant l’àrea en fracció.
Al pas 1 la superfície negra és ¾, al pas 2 és 9/16…
I així fins arribar al pas 5, on ja no podíem comptar els triangles, massa petits!
En aquest punt, vam aconseguir adonar-nos que el numerador de la fracció que expressa l’àrea
negra sempre és el nombre de triangles negres presents al triangle sencer (3 elevat a n), i el
denominador d’aquesta mateixa fracció sempre és la suma de tots els triangles passats a la
mateixa mida (és a dir, en el cas del pas 2, el triangle blanc del pas 1 partit en quatre triangles).

                             


Això volia dir que la superfície negra sempre seria 3 elevat a n / 4 elevat a n.

Havent arribat a aquesta conclusió, si l’àrea del triangle sencer és 1, només cal restar-li la superfície
negra per esbrinar quina és la superfície blanca. Per tant, la superfície blanca és igual a 1 - (3^n / 4^n)

Per finalitzar l'activitat vam realitzar alguns fractals a partir del treball realitzat. Aquí teniu l'exemple de
la Natàlia Martin, que ens explica a través d'una taula com creixen els quadrats en el seu fractal:





La Nerea Corrales ens proposa el seu:




Lucia Freijo i Cèsar Gómez
4C INS Baix a Mar


divendres, 22 de juny de 2018

Enrajolem.... de nou!

Aquest any hem tornat a repetir el projecte de la meva rajola. Podeu veure'n la seqüència didàctica en una entrada anterior.

La idea fonamental és la de crear rajoles que tenen la meitat pintada, i a partir d'aquí construir-ne un mosaics. 
Els mosaics d'aquest any són els següents:





















1r d'ESO Ins Baix a Mar



dilluns, 14 de maig de 2018

Perímetres i àrees a partir de pentòminos

Aquest any de nou hem tornar a treballar amb els pentòminos a 1r d'ESO. En un post anterior, Pentòminos, vam descobrir quantes peces diferents hi havien i algunes de les possibilitats de rectangles que podem obtenir. Recordem les peces que podem trobar com a comibanció de 5 quadrats:




I unes primeres reflexions sobre el perímetre i àrea de cada una de les 12 peces.




Val la pena destacar el treball de caràcter exhaustiu, per exemple, de la Irene i el Marcel, abans de començar a fer rectangles:







Posteriorment passem a la construcció de rectangle a partir de les peces dels pentòminos. Aquests any, entre tots els alumnes de 1r d'ESO hem aconseguit trobar-los tots:




La troballa de tots els pentòminos ens ha portat a discutir sobre l'evolució del perímetre i l'àrea en els rectangles.
- l'àrea creix d'alguna manera?
- i el perímetre?
- mateixa àrea implica mateix perímetre?
- podem deduir quins rectangles minimitzen el perímetre a partir d'una àrea determinada?
- podem fer un quadrat amb les 12 peces?

Després de treballar amb els pentòminos anem a consolidar aquestes idees inicials sobre àrees i perímetres que han aparegut. L'activitat està extreta de Puntmat, en un post que ens parla sobre idees d'àrees i perímetres.





Es tracta de construir figures que mantinguin l'àrea en les files i vagi creixent el perímetre, i que mantinguin el perímetre en les columnes i vagi creixent l'àrea.




Això porta als alumnes a extreure'n algunes conclusions:



Altres exemples:




"Conclusió 1: Ens hem adonat que per augmentar el perímetre hem d’afegir un quadrat a on estigui sol, per afegir 2 més de perímetre.

Conclusió 2: Ens hem adonat que per disminuir el perímetre hem de posar un quadrat a on estigui al costat d’un altre."

I un darrer exemple per acabar, observant que les solucions són diferents que les anteriors:



Resumint, hem investigat sobre la idea de perímetre i àrea i de les seves implicacions quan canviem alguna cosa o l'altre!

1r ESO INS Baix a Mar