dimecres, 10 d’octubre de 2018

El triangle de Sierpinski

En César Gómez i la Lucia Freijo de 4C ens expliquen l'activitat realitzada amb el Triangle de Sierpinski, així com una mica de biografia d'aquest matemàtic polonès.


Wacław Sierpiński


 

Wacław Sierpiński va ser un matemàtic polonès que va néixer el 1882 a Varsòvia i va morir el 1969 també a Varsòvia.

El 1907 es va graduar al Departament de Matemàtiques i Física de la Universitat de Varsòvia. Després de la seva graduació, Sierpiński va començar a treballar de professor a una escola de Varsòvia.

Un temps després, l’escola va tancar, i Sierpiński va decidir anar a Cracòvia per fer un doctorat. El va aconseguir el 1908, i va ser assignat a la Universitat de Leàpolis.
A part del seu treball amb els fractals, també va fer nombroses aportacions a la teoria de conjunts,
a la teoria de nombres, a la teoria de funcions i a la topologia.

Sierpiński va publicar 50 llibres i 724 treballs.

Treball a l’aula

Vam treballar el tema mitjançant l’observació, apuntant dades i analitzant-les fins a arribar a una
fórmula general.
El triangle de Sierpiński és un objecte fractal i un dels exemples bàsics de conjunt autosemblant, una de les propietats fonamentals de les fractals. Per construir el triangle de Sierpiński se segueix l'algoritme següent: A partir d'un triangle, s'uneixen els punts mitjans dels seus costats, dividint el triangle inicial en quatre triangles. S'elimina el triangle interior. En cada un dels tres triangles que queden es procedeix
a fer el pas 1 El triangle de Sierpiński és el límit de fer el procediment anterior de manera infinita.

Ho vam fer omplint la següent taula a partir de l’evolució del triangle de Sierpinski:



Primerament, vam comptar la quantitat de triangles negres, blancs i en total que hi havia a cada pas.
Al arribar al 2n pas, ens vam adonar que el número total dels triangles al següent pas seria el número
total dels triangles blancs. És a dir, que si al 1r pas hi ha un total de quatre triangles, al 2n pas hi
haurà un total de quatre triangles blancs.

Vam continuar, i quan vam arribar al 4t pas ens vam adonar d’això: el número de triangles negres és
igual a 3 elevat a n i el número de triangles blancs és igual a 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

I com vam arribar a aquesta conclusió?
Doncs bé, si us fixeu, al pas 1 hi han tres triangles negres. Al pas 2 hi ha el triple, i així
successivament. Per tant, té sentit que a cada pas s’elevi el nombre principal de triangles negres a
un número més.
En quant als triangles blancs és una mica més complicat.
Comencem pel pas 1: tres triangles negres i un de blanc.
Pas 2: nou triangles negres i quatre de blancs. Però si us ho mireu bé, cada tres
triangles negres hi ha un de blanc més l’inicial; i aquest fet es repeteix en tots els passos.

Observant això, es pot deduir que el número total dels triangles blancs és el número total dels
triangles negres menys 1 (el triangle inicial blanc) dividit entre 2.

I lògicament, després d’això ja podíem saber quants triangles hi havia en qualsevol pas,
només calia sumar les dues fórmules: 3 elevat a n + 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

Seguidament, vam calcular les àrees, la superfície blanca i la superfície negra que hi havia a cada
pas (teníem com a referència que l’àrea del triangle sencer era 1).

Vam començar amb senzillesa, comptant els triangles i després expressant l’àrea en fracció.
Al pas 1 la superfície negra és ¾, al pas 2 és 9/16…
I així fins arribar al pas 5, on ja no podíem comptar els triangles, massa petits!
En aquest punt, vam aconseguir adonar-nos que el numerador de la fracció que expressa l’àrea
negra sempre és el nombre de triangles negres presents al triangle sencer (3 elevat a n), i el
denominador d’aquesta mateixa fracció sempre és la suma de tots els triangles passats a la
mateixa mida (és a dir, en el cas del pas 2, el triangle blanc del pas 1 partit en quatre triangles).

                             


Això volia dir que la superfície negra sempre seria 3 elevat a n / 4 elevat a n.

Havent arribat a aquesta conclusió, si l’àrea del triangle sencer és 1, només cal restar-li la superfície
negra per esbrinar quina és la superfície blanca. Per tant, la superfície blanca és igual a 1 - (3^n / 4^n)

Per finalitzar l'activitat vam realitzar alguns fractals a partir del treball realitzat. Aquí teniu l'exemple de
la Natàlia Martin, que ens explica a través d'una taula com creixen els quadrats en el seu fractal:





La Nerea Corrales ens proposa el seu:




Lucia Freijo i Cèsar Gómez
4C INS Baix a Mar


divendres, 22 de juny de 2018

Enrajolem.... de nou!

Aquest any hem tornat a repetir el projecte de la meva rajola. Podeu veure'n la seqüència didàctica en una entrada anterior.

La idea fonamental és la de crear rajoles que tenen la meitat pintada, i a partir d'aquí construir-ne un mosaics. 
Els mosaics d'aquest any són els següents:





















1r d'ESO Ins Baix a Mar



dilluns, 14 de maig de 2018

Perímetres i àrees a partir de pentòminos

Aquest any de nou hem tornar a treballar amb els pentòminos a 1r d'ESO. En un post anterior, Pentòminos, vam descobrir quantes peces diferents hi havien i algunes de les possibilitats de rectangles que podem obtenir. Recordem les peces que podem trobar com a comibanció de 5 quadrats:




I unes primeres reflexions sobre el perímetre i àrea de cada una de les 12 peces.




Val la pena destacar el treball de caràcter exhaustiu, per exemple, de la Irene i el Marcel, abans de començar a fer rectangles:







Posteriorment passem a la construcció de rectangle a partir de les peces dels pentòminos. Aquests any, entre tots els alumnes de 1r d'ESO hem aconseguit trobar-los tots:




La troballa de tots els pentòminos ens ha portat a discutir sobre l'evolució del perímetre i l'àrea en els rectangles.
- l'àrea creix d'alguna manera?
- i el perímetre?
- mateixa àrea implica mateix perímetre?
- podem deduir quins rectangles minimitzen el perímetre a partir d'una àrea determinada?
- podem fer un quadrat amb les 12 peces?

Després de treballar amb els pentòminos anem a consolidar aquestes idees inicials sobre àrees i perímetres que han aparegut. L'activitat està extreta de Puntmat, en un post que ens parla sobre idees d'àrees i perímetres.





Es tracta de construir figures que mantinguin l'àrea en les files i vagi creixent el perímetre, i que mantinguin el perímetre en les columnes i vagi creixent l'àrea.




Això porta als alumnes a extreure'n algunes conclusions:



Altres exemples:




"Conclusió 1: Ens hem adonat que per augmentar el perímetre hem d’afegir un quadrat a on estigui sol, per afegir 2 més de perímetre.

Conclusió 2: Ens hem adonat que per disminuir el perímetre hem de posar un quadrat a on estigui al costat d’un altre."

I un darrer exemple per acabar, observant que les solucions són diferents que les anteriors:



Resumint, hem investigat sobre la idea de perímetre i àrea i de les seves implicacions quan canviem alguna cosa o l'altre!

1r ESO INS Baix a Mar

divendres, 2 de març de 2018

Fitxes i taulers

Un any més els alumnes de 1r i 2n d'ESO han realitzat els problemes del Fem matemàtiques. El problema que més els ha agradat ha estat el número 3, així que hem cregut interessant que ens expliquin algunes de les estratègies que han utilitzat per resoldre el problema.

El problema partia d'un joc, i les preguntes eren molt similars, tant a 1r com a 2n:





Tots els grups han arribat a la conclusió que el mínim nombre de moviments per acabar el joc és de 5. El grup de 1r de l'Elsa, la Maria, l'Abril i el David comenten que "hem arribat a aquesta conclusió perquè t’obliga a donar la volta, és igual si es cap a l’esquerra o cap a la dreta"





També tenm el gif fet pel grup de l'Ariadna, la Laia, el Samuel i l'Anna:



Després ens preguntaven si es podia acabar exactament amb 15 i 16 moviments.

El grup de la Marina, la Judit, la Jana i l'Aranzazu van arribar la següent proposta... "Per a aconseguir 15 moviments, tot partint des del moviment 4, vam fer els següents passos":


Aquesta tècnica serveix per a arribar a qualsevol nombre senar més gran que 5.

El grup de la Irene, l'Aaron, la Rebeca i la Marina ens diuen: "Aquest és el moviment 4, si volem fer-ho en 15 moviments, haurem de moure la fitxa groga que està en diagonal a la vermella de manera alternativa fins que estiguem al moviment 14 i llavors moure la vermella."


I que passa amb 16 moviments doncs? Aquí tenim algunes respostes dels alumnes:

-"En canvi, si volem fer 16 moviments es impossible! Perquè el moviment 4 (és parell) sempre es el penúltim. Aleshores el moviment 15 no estarà mai a la penúltima posició, perquè es imparell."

- "Amb 15 moviments si que es pot fer ,perquè 15 es un nombre senar i sempre sobrarà un per poder arribar a la casella buida però en canvi amb 16 no es pot perquè és un nombre parell."

- "Vam arribar a la conclusió que no podíem fer 16 moviments, perquè la tècnica d’anar movent les peces amunt i avall només funciona amb nombres senars."

- "Amb 16 moviments no es pot perquè en el moviment 15 està a la casella buida una fitxa groga i al moviment 16 ha de pujar per deixar-la lliure però no tens més moviments."

- "El nombre de caselles del tauler és parell i el nombre de moviments per passar d'una posició a una altra és imparell, perquè sempre n'hi haurà un menys. Per això si parlem de moviments és impossible que sigui un nombre parell. Podem posar l'exemple d'un circuit de 4 valles. Hi ha quatre valles però tres espais entre valles. Les valles representen les diferents posicions i els espais entre moviments."

Què passa quan el tauler és 3x3?

L'Elsa, la Maria, l'Abril i el David ens proporcionen la següent solució amb 13 moviments:



El grup de la Irene, la Marina, la Rebeca i l'Aaron ens han fet un petit vídeo amb la solució:



De nou ens preguntaven si podiem acabar el joc amb 30 i 31 moviments. Aquestes han estat algunes de les respostes:

- "Amb 30 moviments no es pot perquè és un número parell i totes les possibilitats son en un número senar i no parell. I tampoc no es pot perquè la fitxa groga es quedaria a la casella buida i per deixar-la lliure s’hauria de fer un moviment més.

Amb 31 moviments si que es pot perquè és un número senar i totes les posibilitats son en número senar."



- "Amb 30 moviments no es pot fer perquè 30 es parell, si seguim el patró es pot fer amb 31, perquè els moviments imparells són exactes."



- "Amb 31 moviments si que es pot fer perquè 31 és un nombre senar i sempre sobrarà un per poder arribar a la casella buida però en canvi amb 30 no es pot perquè és un nombre parell."


- "Vam arribar a la conclusió de que no es podien fer 30 moviments per la mateixa raó que a la pregunta A, la tècnica d’anar pujant i baixant les peces només funciona si el nombre es més gran de 5 i si es senar."

I ara toca el 4x4.

Seguint una mica les normes de moviments que vam veure al 3x3 troben relativament ràpid la solució del tauler 4x4. Necessiten 21 moviments.

Aquí alguns grups ja es comencen a adonar que passen coses:

- "21 moviments son el mínim: Hem descobert que a cada resultat mínim se li sumen 8 i dona el resultat de la següent taula. (Entre tauler i tauler se’n porten 8)"

- "Ens hem adonat que hi ha un patró i va de 8 en 8. En el tauler de 2x2 el resultat de moviments es de 5 i en el de 3x3 es 13. De 5 a 13 se’n emporten 8 i així consecutivament, en el resultat del tauler 4x4 seria 21=13+8=21"

El grup de la Lia, la Laia, el Pep i la Lola conjecturen que el tauler 5x5 tindrà 29 moviments:



Joc
Tauler
Moviments
T.1
2x2
5
T.2
3x3
13
T.3
4x4
21
T.4
5x5
29

Ho comprovem?

L'Elsa, la Maria, l'Abril i el David ens confirmen gràficament aquesta conjectura:




La Hannah, el Guillermo, Irene i la Salma intueixen el patró a partir del número de peces que mouen per deixar lliure el camí a la fitxa vermella:

"Quan el taulell era de 2x2 només s’havia de moure 1 peça per deixar lliure el camí del quadrat, en el de 3x3 s’havia de moure 3 peces i en el de 4x4 5, llavors ens vam, adonar que si el següent s’havia de moure 7 peces, cada vegada es va sumant 2 i a més a més, que cada 2 peces grogues que es mouen, es pot moure el quadrat o sigui anar sumant 3 + 3 + 3...

Per confirmar la fórmula, vam provar amb un 5 x 5"


De manera molt similar, el grup de l'Alícia, la Irene, l'Àlex i el Jordi observen quants moviments necessiten la primera vegada que mouen la fitxa vermella i quants la resta:

"Ens hem fixat que en els moviments que es feien en cada tauler per exemple:
- al 2x2 (per moure la fitxa vermella) lo primer són dos moviments i després són tres moviments més.
- al 3x3, són 4 moviments (la primera vegada) i tres cops 3 per arribar al final

llavors hem començat a fer això amb altres taulers i ens hem fixat que cada cop els primers moviments eren números parells (2, 4, 6, ...) i els cops que després es feien tres moviments, la quantitat de tresos era 1 menys del número de moviments que es feien primer per arribar a moure la peça vermella. 

... si al nombre del costat per dos i li treus 2 et dona els primers moviments per arribar a moure la vermella. Per tant ja podem saber quants moviments són si ens donen el nombre de costat"
 


Ara arriben les preguntes clau...Quines haurien de ser les dimensions del tauler per tal que el nombre mínim de moviments que s’haurà de fer per aconseguir portar la fitxa quadrada fins a la casella buida siguin 101? I en 173 moviments?

Observant el patró de 8 en 8, el grup del Jorge, l'Aaron, l'Emi i la Paula arriben a la solució utilitzant una taula:


Segons ells, 101 moviments esdevindran en un tauler 14x14 i 173 en un 23x23.

Però ho podem fer d'una altra manera?

El grup de la Irene, la Marina l'Aaron i la Rebeca ens expliquen com arribar a la solució sense haver de calcular tots els taulers:


"El taulell de 14x14. Com ho hem fet?

Si comprovem les anteriors taules eren 5 moviments, després 5+8, i si seguim així seria: 5+8x2, 5+8x3…. Total, que el que hem de fer és dividir:

101-5=96 (li restem el 5 de la primera taula perquè poguem dividir entre 8)

96:8=12


Després sumem el primer tauler, per tant: 12+1=13 Si mirem la taula, el número 13 correspon al moviment 101 mínim, el taulell de 14x14."



 
En una línia similar, la Lia, la Laia, la Lola i el Pep ens comenten:

"Per buscar el tauler de 101 i de 173 li hem restat 5 i el nombre que ens ha donat l’hem dividit entre 8 i li hem sumat 1. Amb el nombre que ha donat, es el nombre de moviments del tauler. La mida del tauler és un nombre més."


Joc
Tauler    
Moviments
1
2x2
5
2
3x3
13
3
4x4
21
4
5x5
29
...
….
….
13
14x14
101
22
23x23
173





L'Emma, la Daniela, la Nelly i la Camila ho argumenten també de forma semblant

"Cada vegada que augmentem una casella hem de fer vuit moviments més. Com que comencem amb cinc moviments al tauler de 2x2, si a 101 li restem cinc i el dividim per vuit es el nombre de augments al taulell que hem de fer.

101-5=96

96/8= 12

I partint del 2x2 amb 12 augments ens dona un taulell de 14x14"



El grup de La Hannah, el Guillermo, la Salma i la Irene de 2n ho resolen amb una equació:

"Aquí, tot el que hem de fer és una equació de primer grau amb les dades que tenim: sabem que 101 és igual a 5 (mínim de moviments per el de 2x2)+ 8 x n-2 (caselles d'un costat - 2 101=5+8x(n-2)

Com ja sabem, en les equacions, sempre s’han de canviar les sumes per restes, les multiplicacions per divisions i al inrevés.
 

101 = 5 + 8 x(n-2)
101-5 = 8 x(n-2)

96 = 8 x(n-2) 
96/8 = n-2
12 = n-2 

Llavors, després de fer això tota l’estona, trobem el resultat:

12+2=n=14


Així que ja hem trobat vàries maneres per calcular qualsevol tauler!


Canvi de normes



Amb tot el que hem aprés anteriorment ara ho farem molt més ràpid.

Ràpidament observen que amb el 2x2 el joc s'acaba amb un tirada.



Amb el 3x3 amb 8 tirades:


I amb el 4x4 amb 15 tirades.


Jugades           
Tauler                    
Moviments
1
2x2
1
2
3x3
8
3
4x4
15

La Lia, la Laia, el Pep i la Lola comenten:

"Ens hem adonat que hi ha un patró i va de 7 en 7. En el tauler de 2x2 el resultat de moviments es de 1, en el de 3x3 es 8 i en el de 4x4 es de 15. De 1 a 8 se’n emporten 7 i així consecutivament."

Igual que abans ens demanen com seran els taulers de 120 i 204 moviments. És molt aclaridora l'explicació de la Marina, la Jana, la Judit i l'Aranzazu:

"Si la fitxa vermella es mogués en diagonal en un tauler de 2X2 el nombre mínim de tirades seria 1.

En un tauler de 3X3 serien 8.

En un tauler de 4X4 serien 15.

I si el nombre mínim de tirades fos 120 faríem els següents càlculs:



A 120 li restem 1, perquè no comptem la primera tirada. El resultat el dividim entre 7, que és la quantitat que es porten els nombres entre ells.
Al resultat li sumem 1 comptant la primera tirada, que és el pas el el que el nombre mínim seria 18. La mida del tauler seria 19X19.

Si la tirada mínima fossin 204 faríem els mateixos càlculs. Les dimensions del tauler serien 31X31"


Joc
Tauler
Moviments
T. 1
2x2
1
T.2
3x3
8
T.3
4x4
15
T.4
5x5
22
…..
…..
…..
T18
19x19
120
T30
31x31
204



Als de 2n d'ESO també els demanen el tauler de 2017 moviments.
Ho expliquen de forma molt clara l'Emma, la Daniela, la Nelly i la Camila :


"Cada vegada que augmentem una casella el taulell hem de fer set moviments més. Com que comencem amb un moviment al tauler de 2x2, si a 2017 li restem un i el dividim per set és el nombre d'augments al taulell que hem de fer.

2017-1=2016
2016/7=288
I partint del 2x2 amb 288 augments ens dona un taulell de 290x290
 
I el grup de la Irene, la Hannah, la Salma i el Guillermo ho tornen a resoldre amb una equació:

"Aquí, també hem de fer una equació de primer grau.

2017 = 1 + 7 x (n-2)  
2017-1 = 7 x (n-2)  
2016 = 7 x (n-2
2016/7 = n-2
288 = n-2
288+2 = 290
 

Això vol dir que el nostre taulell és de 290 x 290"



Esperem que us hagi agradat tota la nostra feina sobre el problema 3 del Fem matemàtiques!

Alumnes de 1r i 2n d'ESO INS Baix a Mar.