dijous, 10 de desembre de 2015

La Fórmula d'Euler

Leonhard Euler (Basilea, 15 d'abril 1707, Sant Petersburg, 18 de septembre de 1783) va ser un matemàtic i físic suís, que va viure a Rússia i a Prússia la major part de la seva vida. 
Euler va fer importants descobriments en camps tan diversos com el càlcul o la teoria de grafs. Va influir molt en la creació de la matemàtica moderna, per exemple, introduint la noció de funció.
Està considerat un dels matemàtics més brillants de la història junt amb Arquimedes, Gauss, i Newton.




A classe vam fer un exercici sobre els desenvolupaments plans de cossos geomètrics.
Vam comptar diferents dades (cares, vèrtex, i arestes) de vàries figures, prismes, piràmides, i altres poliedres.
Amb aquestes taules, vam posar en comú les dades i vam arribar a una conclusió.


























Vam trobar relacions i vam arribar a la conclusió que no fa falta comptar cada element (cara, vèrtex, arestes) per poder saber les dades. Amb la fórmula d'Euler ho podem saber ràpidament.
També vam adonar-nos que, la fórmula, sempre la compleixen poliedres convexos, però els còncaus no sempre. Hem de recordar que un poliedre convex és un poliedre en el qual no hi ha cap cara que talla el poliedre per la meitat, però en un còncau sí. Aquesta és la relació:




Però amb els cossos geomètrics foradats, la fórmula d'Euler no funciona:


 







Maële Segalen i Alejandra Ravelo

dilluns, 30 de novembre de 2015

Els nombres negatius




Un número negatiu, és un número que està per sota del 0. Són infinits: -1, -2, -3, -4, -5, -6... Els nombres negatius poden ser decimals o enters. A continuació tenim la recta dels nombres positius i els negatius. 



Podem veure que el zero és un nombre que separa els nombres positius del negatius: tot i que avui en dia aquests nombres estan acceptats per tothom, va haver molts problemes i debats. 

Els nombres negatius van aparèixer entre l’any 100 aC i l’any 50 aC. Abans era un càlcul que es considerava un error. Més endavant, matemàtics xinesos i grecs (segle lll) i indis (segle VIII) van donar regles per treballar amb els nombres negatius. Existia un llibre anomenat Els nous capítols de les arts matemàtiques on es feien servir ratlles vermelles per a representar els números negatius, i ratlles negres per als positius. Aquesta manera de representar el números és la més antiga coneguda. Mentre en altres llocs es començava veure als nombres negatius amb altres ulls, molts matemàtics europeus, encara centenars d'anys després, deien que els nombres negatius representaven quantitats que eren menys que res i per tant no podien existir. Van seguir pensant així fins al segle XVII, tot i que el primer treball europeu fet amb nombres negatius va ser al segle XV per Nicolas Chuquet. Però llavors, es referia a ells com a ''nombres absurds''. Cada cop, els nombres negatius han tingut més i més importància, i avui en dia, gràcies a ells, podem fer moltes coses!


Addaia Valeriano, 2n d'ESO A

dijous, 19 de novembre de 2015

Ull d'Horus

L'ULL D'HORUS
Els egipcis van utilitzar un sistema molt antic per representar fraccions en mesures agàries de superfície i volum, basat en les divisions entre dos 1/2. Els signes de les fraccions més grans van ser presos de les parts que componien el jeroglífic de l'Ull d'Horus.


LA LLEGENDA
Explica la legenda que Nut, deessa del cel era desitjada per Tot, però ella tenia relacions secretes amb Geb (déu de Roger Rovira Pol Homs Bruna Sala Pau Estrada la Terra). En saber-ho, Ra (el sol) la castigà a no poder dormir cap mes ni cap any. Tot juga amb la lluna i aconsegueix guanyar-li cinc dies que li regala a Nut. Nut, agraïda, dóna a Tot cinc fills: Osiris, Haroeris, Seth, Isis i Neftis. Osiris es casa amb la seva germana Isis i deixa sense companya Seth (l'anterior marit d'Isis). Per venjar-se, Seth assassina Osiris i llença el seu cos a l'aigua. Isis, desesperada perquè ha perdut el seu espòs, fa enemistar el seu fill Horus amb Seth. En un dels combats, Seth triomfa trencant l'ull d'Horus en sis trossets. Al final, Tot es posa del costat d'Horus i li recompon l'ull.


QUE REPRESENTA CADA PART DE L'ULL?
Cada fracció es representava mitjançant una grafia del jeroglífic de l'ull.

COM FUNCIONA?
La primera fracció és 1/2
El numerador sempre és 1 i el denominador és el doble del nombre anterior, i així fins al 64.

Els denominadors són potències de 2.


UNA REPRESENTACIÓ GRÀFICA


podríem continuar fins a l'infinit oi?

ALTRES APLICACIONS DE L'ULL
Les fraccions del ull d'horus, eren fraccions del heqat. El heqat és equivalent a uns 4,8 litres actuals i a partir d'aquest derivaven altres unitats de mesura. Les que eren més petites que aquest es representaven en forma de fraccions amb l'ull d'horus.


Trobareu més informació a l'apartat de l'eix cronològic de les matemàtiques del blog.

Alumnes de 2n d'ESO de l'INS Baix a Mar

dilluns, 16 de novembre de 2015

Prismes amb policubs

A la classe de 4t es va presentar el següent problema:














A partir d’aquest punt, trobareu els prismes que la classe de 4tA va trobar.



-El primer, va ser el mes senzill, nomes hi havia que posar en filera els 40 cubs, aconseguint un prisma de 1x40x1




-El segon, simplement, fer al mateix però posant 20 a baix, i 20 a dalt, i així formem un prisma de 2x20x1.



-En el següent prisma els hem apilat de manera que construïm un poliedre de 4x10x1.



-Després, vam crear-ne un de 8x5x1.



 -Seguidament, vàrem construir un de 2x10x2.



-L’últim poliedre era de 4x5x2.



Després de tenir totes les possibles opcions ens vam adonar de que:

1. Exceptuant el primer prisma sempre, hi ha un (múltiple de 2)x(múltiple de 5)x(1 o 2)
2. A més a més, com és obvi, tots són divisors de 40.

D: 40= (1,2,4,5,8,10,20,40)

La combinació de 3 divisors la multiplicació de la qual doni 40 és solució del problema.

Per rematar-ho, el Jordi Font ha fet aquest app per geogebra on apareixen les solucions d'aquest problema i d'altres combinacions de policubs construint prismes.

 
Podeu trobar l'applet en la següent adreça: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1871725Esperem que el problema us hagi semblat interessant.

Jèssica López i Elisa Etzkorn (4t d'ESO de l'INS Baix a Mar).

divendres, 13 de novembre de 2015

7 hexàgons de colors

Arran de la recent visita al Museu de les Matemàtiques de Catalunya, per recollir els premis dels "Problemes a l'esprint", alguns alumnes de 4t es van quedar amb les ganes de resoldre el joc dels 7 hexàgons de colors.



Així que l'alumna de 4tA Jèssica López l'ha reproduit per tal de portar-lo a classe. Els hexàgons els ha fet amb el geogebra.
Aquí teniu una versió imprimible per si us interessa.


El joc és senzill, simplement es tracta de crear un puzzle el qual les cares dels hexàgons que es toquen siguin del mateix color. Fàcil oi? Doncs ha costat més del que sembla. 







Us atreviu a provar-lo???

Gràcies Jèssica


dijous, 12 de novembre de 2015

El triangle de Pascal

Història

El triangle de Pascal també, anomenat triangle de Tartaglia, es diu així en honor del matemàtic i filòsof francés Blaise Pascal (1623 - 1662). Les aplicacions del famós triangle ja les coneixien els matemàtics indis, xinesos i perses al segle XI, però va ser Blaise Pascal fou el primer en organitzar moltes propietats de manera conjunta, escrivint el primer tractat sobre aquesta disposició numèrica. També a Itàlia el coneixen com el triangle de Tartaglia, en honor al algebrista italià Niccolò Fontana, (segurament el primer a publicar el famós triangle en Europa).


Com és construeix?

El triangle de Pascal pot ser infinit i és simètric a l'eix vertical (es pot llegir igualment començant per l'esquerra que per la dreta). Per construir-lo comencem a un "1" a la punta del triangle i posem números a la diagonal dreta i a la diagonal esquerra formant un triangle. Cada numero és la suma, dels dos números que té just sobre d'ell (a excepció dels extrems). No és, estrictament, es una figura geomètrica amb 3 angles i 3 costats: és una taula numèrica infinita de forma triangular, que permet resoldre tota una gamma de problemes de càlcul: a més, és una figura elegant i curiosa a la vegada, plena de característiques, particularitats i regularitats.



Què hem fet a classe?


L'any passat (a 1r d'ESO) vam fer una activitat amb el triangle de Pascal, que consistia en pintar els múltiples de diferents nombres (2, 3, 4 i 5) i veure les diferents formes que hi apareixien. 

Aquest any, hem reventat el problema inicial i buscar nous triangles amb elements diferents d'1 en les diagonals exteriors. Ens vam distribuir en 6 grups diferents i  cada grup havia d'estudiar característiques diferents de triangles diferents. Primerament, calculàvem les xifres que confeccionaven el triangle i després tapem amb un gomet sobre el plàstic les xifres que no segueixin la propietat indicada. Per exemple, el triangle de múltiples de 2 hem de tapar els nombres senars, així quedaven figures i formes només tapant els nombres que no seguien la propietat indicada. I cada grup apuntava i comentava les propietats que apareixien en el seu triangle.
Tenim un post més extens que explica l'activitat de classe.
http://matematiquesmarines.blogspot.com.es/2015/10/de-pascal-sierpinski-materials.html




A l'eix d'història de les matemàtiques trobareu totes les entrades que hi anem fent.
 
AYMAN BENSSOUNA 2n A






dijous, 22 d’octubre de 2015

DE PASCAL A SIERPINSKI - MATERIALS PRESENTATS A LES JORNADES DE LA FEEMCAT


L'INS Baix a Mar va ser present a les XII Jornades de la Federació d'Entitats per l'Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya que es va celebrar el passat 3 d'octubre a l'Institut d'Estudis Catalans. Aquest any les jornades portaven per títol MATEMÀTIQUES, ARA HO VEIG!, i tenien com a centre d'interès les visualitzacions com a eix importantíssim del raonament i la demostració matemàtica.



Amb el títol De Pascal a Sierpisnki l'institut va presentar uns materials adreçats a alumnes de 2n i 4t d'ESO, que els propis alumnes de l'institut van mostrar el dia de la jornades. 




A continuació us mostrem els materials presentats, la seva realització i aplicacions a l'aula.

EL TRIANGLE DE PASCAL


Curs
 2n ESO (tot i que es pot realitzar també a 1r)

Continguts claus treballats segons el currículum
CC1 Sentit del nombre i de les operacions
CC2 Raonament proporcional
CC3 Càlcul
CC5 Patrons, relacions i funcions
CC10 Relacions i transformacions geomètriques

L'activitat es centra especialment en l'aritmpetica dels nombres enters, conceptes de divisibilitat (múltiple, divisor, criteris de divisibilitat...), la geometrització de patrons numèrics, així com l'aparició de patrons, formes.... L'activitat permet potenciar el raonament i la demostració visual matemàtica.

Material utilitzat 
Fulls A3
Planxes transparents A3
Gomets de colors

Durada
Unes 4 sessions. Dependrà de la quantitat de triangles a realitzar i el grau d'experimentació donat.

Descripció de l'activitat
Es distribueixen els alumnes en grups de 4 o 5 persones com a màxim. A cada grup se li dóna una plantilla del triangle de Pascal. La quantitat de files d'aquest és indiferent, com més millor, tot i que s'ha de tenir en compte que s'hi hauran d'escriure nombres a dins amb  la qual cosa si fem moltes files, les cel·les hauran de ser cada cop més petites i els nombres seran cada cop més grans. Nosaltres vam plantejar l'activitat amb 16 cel·les, ja permitien veure els patrons resultants i les xifres escrites es veien correctament.

    






















Un cop els alumnes tenen el full A3 amb el triangle en blanc es reparteixen el valor de les diagonals i el divisor a treballar en cada cas. El Triangle de Pascal original està format diagonal de valor 1. Cada cel·la és el valor de la suma de les dues cel·les superiors.

http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/images/pascal.hex2.gif 



Ràpidament els alumnes observen la simetria del triangle, amb la qual cosa no cal calcular-lo tot, sinó que amb una meitat tenen automàticament els resultats de l'altre meitat. També observen que en la segona diagonal apareixen els nombres consecutius i altres relacions menys intuïtives com els nombres triangulars a la tercera diagonal.

Tot i això podem construir triangles que no tinguin uns a les diagonals. Podem col·locar-hi nombres negatius, xifres superiors a 1.... els alumnes poden experimentar.



Un cop tenim el triangle construït es col·loquen les planxes transparents a sobre. La idea és senzilla, tapar amb gomets a sobre de la planxa tots els nombres que no compleixen la condició de divisibilitat donada. Anotem amb permanent les característiques del triangle.
En la següent fotografia els alumnes havien de tapar tots els que no eren múltiples de 3.



 O en aquesta els que no eren múltiples de 4.



 
En la fotografia anterior ja es comença a intuir que pot haver-hi algun error en la part inferior del triangle oi?

SIERPINSKI I LES TORRES DE HANOI

Coneixeu les torres de Hanoi? Les torres de Hanoi és un joc d'origen desconegut. En funció de les fonts consultades podem trobar que:

  • Al costat del riu Ganges, el riu sagrat de l’Índia, s’aixeca la ciutat de Benarés. Hi ha una llegenda que explica que al Gran Temple, sota la cúpula que assenyala el centre del món, Déu va posar una safata d’argent amb tres pals diamantins. Durant la creació Déu va posar 64 discs d’or de diàmetres diferents i apilats de més gran a més petit. Aquesta és la torre de Brahma. Dia i nit els monjos del Temple van passant discs d’un pal a un altre d’acord amb les estrictes regles de Brahma. (font: Joan Jareño)
  • Joc matemàtic inventat (el 1883) pel matemàtic francès Édouard Lucas. (font: Wikipèdia)

Independentment del seu origen, passem a descriure les regles del joc:
  • El joc es tracta d'un joc de diversos discs de radi creixent que s'apilen insertant-se en una de les tres estaques del taulell.
  • L'objectiu del joc és crear la pila inicial en una altra estaca seguint les següents regles:
    • Només es pot moure un disc en cada moviment.
    • La configuració de cada estaca ha de disposar els discs amb els radis de forma creixent.

Posició inicial

Posició durant la partida

Posició impossible. Els discs no estan disposats
en ordre creixent.



COMENCEM A RESOLDRE EL PROBLEMA:

Vegem, de forma visual, la solució de les Torres de Hanoi amb 3 discs:










Observem que ho hem fet amb només 7 moviments!

a) Es pot fer amb menys moviments?
b) Quantes posicions possibles hi ha?
c) Hi ha altres camins per a arribar a la solució final?
d) Què passaria amb 4 discs? I amb 5? I amb 6? I amb n discs?


INTRODUIM-NOS A LA SOLUCIÓ DEL PROBLEMA

Proposem la següent notació:

UNITATS: el primer disc de radi de petit a gran (el més petit)
DESENES: el segon disc de radi de petit a gran
CENTENES: el tercer disc de radi de petit a gran 
MILERS: el quart disc de radi de petit a gran
...

Notem amb un 1, a l'estaca de més a l'esquerra; amb un 2, el del centre; amb un 3 el de més a la dreta.