dijous, 22 d’octubre de 2015

DE PASCAL A SIERPINSKI - MATERIALS PRESENTATS A LES JORNADES DE LA FEEMCAT


L'INS Baix a Mar va ser present a les XII Jornades de la Federació d'Entitats per l'Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya que es va celebrar el passat 3 d'octubre a l'Institut d'Estudis Catalans. Aquest any les jornades portaven per títol MATEMÀTIQUES, ARA HO VEIG!, i tenien com a centre d'interès les visualitzacions com a eix importantíssim del raonament i la demostració matemàtica.



Amb el títol De Pascal a Sierpisnki l'institut va presentar uns materials adreçats a alumnes de 2n i 4t d'ESO, que els propis alumnes de l'institut van mostrar el dia de la jornades. 




A continuació us mostrem els materials presentats, la seva realització i aplicacions a l'aula.

EL TRIANGLE DE PASCAL


Curs
 2n ESO (tot i que es pot realitzar també a 1r)

Continguts claus treballats segons el currículum
CC1 Sentit del nombre i de les operacions
CC2 Raonament proporcional
CC3 Càlcul
CC5 Patrons, relacions i funcions
CC10 Relacions i transformacions geomètriques

L'activitat es centra especialment en l'aritmpetica dels nombres enters, conceptes de divisibilitat (múltiple, divisor, criteris de divisibilitat...), la geometrització de patrons numèrics, així com l'aparició de patrons, formes.... L'activitat permet potenciar el raonament i la demostració visual matemàtica.

Material utilitzat 
Fulls A3
Planxes transparents A3
Gomets de colors

Durada
Unes 4 sessions. Dependrà de la quantitat de triangles a realitzar i el grau d'experimentació donat.

Descripció de l'activitat
Es distribueixen els alumnes en grups de 4 o 5 persones com a màxim. A cada grup se li dóna una plantilla del triangle de Pascal. La quantitat de files d'aquest és indiferent, com més millor, tot i que s'ha de tenir en compte que s'hi hauran d'escriure nombres a dins amb  la qual cosa si fem moltes files, les cel·les hauran de ser cada cop més petites i els nombres seran cada cop més grans. Nosaltres vam plantejar l'activitat amb 16 cel·les, ja permitien veure els patrons resultants i les xifres escrites es veien correctament.

    






















Un cop els alumnes tenen el full A3 amb el triangle en blanc es reparteixen el valor de les diagonals i el divisor a treballar en cada cas. El Triangle de Pascal original està format diagonal de valor 1. Cada cel·la és el valor de la suma de les dues cel·les superiors.

http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/images/pascal.hex2.gif 



Ràpidament els alumnes observen la simetria del triangle, amb la qual cosa no cal calcular-lo tot, sinó que amb una meitat tenen automàticament els resultats de l'altre meitat. També observen que en la segona diagonal apareixen els nombres consecutius i altres relacions menys intuïtives com els nombres triangulars a la tercera diagonal.

Tot i això podem construir triangles que no tinguin uns a les diagonals. Podem col·locar-hi nombres negatius, xifres superiors a 1.... els alumnes poden experimentar.



Un cop tenim el triangle construït es col·loquen les planxes transparents a sobre. La idea és senzilla, tapar amb gomets a sobre de la planxa tots els nombres que no compleixen la condició de divisibilitat donada. Anotem amb permanent les característiques del triangle.
En la següent fotografia els alumnes havien de tapar tots els que no eren múltiples de 3.



 O en aquesta els que no eren múltiples de 4.



 
En la fotografia anterior ja es comença a intuir que pot haver-hi algun error en la part inferior del triangle oi?

SIERPINSKI I LES TORRES DE HANOI

Coneixeu les torres de Hanoi? Les torres de Hanoi és un joc d'origen desconegut. En funció de les fonts consultades podem trobar que:

  • Al costat del riu Ganges, el riu sagrat de l’Índia, s’aixeca la ciutat de Benarés. Hi ha una llegenda que explica que al Gran Temple, sota la cúpula que assenyala el centre del món, Déu va posar una safata d’argent amb tres pals diamantins. Durant la creació Déu va posar 64 discs d’or de diàmetres diferents i apilats de més gran a més petit. Aquesta és la torre de Brahma. Dia i nit els monjos del Temple van passant discs d’un pal a un altre d’acord amb les estrictes regles de Brahma. (font: Joan Jareño)
  • Joc matemàtic inventat (el 1883) pel matemàtic francès Édouard Lucas. (font: Wikipèdia)

Independentment del seu origen, passem a descriure les regles del joc:
  • El joc es tracta d'un joc de diversos discs de radi creixent que s'apilen insertant-se en una de les tres estaques del taulell.
  • L'objectiu del joc és crear la pila inicial en una altra estaca seguint les següents regles:
    • Només es pot moure un disc en cada moviment.
    • La configuració de cada estaca ha de disposar els discs amb els radis de forma creixent.

Posició inicial

Posició durant la partida

Posició impossible. Els discs no estan disposats
en ordre creixent.



COMENCEM A RESOLDRE EL PROBLEMA:

Vegem, de forma visual, la solució de les Torres de Hanoi amb 3 discs:










Observem que ho hem fet amb només 7 moviments!

a) Es pot fer amb menys moviments?
b) Quantes posicions possibles hi ha?
c) Hi ha altres camins per a arribar a la solució final?
d) Què passaria amb 4 discs? I amb 5? I amb 6? I amb n discs?


INTRODUIM-NOS A LA SOLUCIÓ DEL PROBLEMA

Proposem la següent notació:

UNITATS: el primer disc de radi de petit a gran (el més petit)
DESENES: el segon disc de radi de petit a gran
CENTENES: el tercer disc de radi de petit a gran 
MILERS: el quart disc de radi de petit a gran
...

Notem amb un 1, a l'estaca de més a l'esquerra; amb un 2, el del centre; amb un 3 el de més a la dreta.

El triangle de Sierpinski

Observeu la següent seqüència gràfica:



  • Quants triangles de color negre hi ha a cada pas?
  • Quants triangles de color blanc hi ha a cada pas?
  • Quants triangles hi ha en total?
  • Quina és l'àrea dels triangles de color negre en cada pas?
  • I l'àrea dels triangles de color blanc?
  • Sabries contestar totes les preguntes anteriors en la figura del pas 20?
Aquest és el punt de partida d'aquesta activitat portada a terme a 4t d'ESO: una bona ocasió per parlar d'elements geomètrics relacionats amb triangles i la seva mesura, comentar les raons entre àrees, parlar del concepte de límit, introduir la funció exponencial, trobar sentit a la notació científica... Una activitat molt transversal en el currículum de matemàtiques. L'activitat, fins aquí, és prou interessant. Però... encara falta el millor!

ARA ET TOCA A TU PROPOSAR EL TEU FRACTAL!
En aquest punt, l'alumne ha de posar en marxa la seva creativitat. Cada alumne, crea el seu "fractal" (no passa res si no és un fractal realment). El que realment interessa és que cerqui generalitzacions geomètriques i intenti posar en marxa tota la maquinària de proporcionalitat geomètrica en perímetres, àrees... Però, el que realment resulta interessant és que CADA ALUMNE TÉ LA SEVA ACTIVITAT: adaptació curricular en estat pur!

El lector podrà trobar algunes propostes d'alguns alumnes en el següent llibre de Geogebra Tube:



APÈNDIX:
Un cop finalitzada l'activitat, el bon amic Javier Moreno ens va presentar un software molt interessant: CONTEXT FREE (software lliure). Aquest programa permet crear fractals a través d'un llenguatge de programació prou senzill. Convidem al lector que es descarregui el programa i experimenti amb aquesta aplicació. Gràcies, Javi!

dijous, 1 d’octubre de 2015

Sumes i restes de gomets

Com podem introduir les sumes i restes amb enters?

Una bona manera és la de representar els nombres amb gomets. Podem utilitzar gomets d'un color pels positius i d'un altre pels negatius. Nosaltres vam fer servir blaus pels positius i vermells pels negatius (molt original ehhh!!).
El sistema és senzill. En la imatge queda molt clar.


Els gomets blaus i vermells es contraresten. El resultat és la diferència de gomets superior. Representem el resultat final també amb gomets.

Manera senzilla i molt visual de començar a fer les primeres operacions amb enters.

Alumnes de 2n d'ESO de l'INS Baix a Mar