dijous, 22 d’octubre de 2015

DE PASCAL A SIERPINSKI - MATERIALS PRESENTATS A LES JORNADES DE LA FEEMCAT


L'INS Baix a Mar va ser present a les XII Jornades de la Federació d'Entitats per l'Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya que es va celebrar el passat 3 d'octubre a l'Institut d'Estudis Catalans. Aquest any les jornades portaven per títol MATEMÀTIQUES, ARA HO VEIG!, i tenien com a centre d'interès les visualitzacions com a eix importantíssim del raonament i la demostració matemàtica.



Amb el títol De Pascal a Sierpisnki l'institut va presentar uns materials adreçats a alumnes de 2n i 4t d'ESO, que els propis alumnes de l'institut van mostrar el dia de la jornades. 




A continuació us mostrem els materials presentats, la seva realització i aplicacions a l'aula.

EL TRIANGLE DE PASCAL


Curs
 2n ESO (tot i que es pot realitzar també a 1r)

Continguts claus treballats segons el currículum
CC1 Sentit del nombre i de les operacions
CC2 Raonament proporcional
CC3 Càlcul
CC5 Patrons, relacions i funcions
CC10 Relacions i transformacions geomètriques

L'activitat es centra especialment en l'aritmpetica dels nombres enters, conceptes de divisibilitat (múltiple, divisor, criteris de divisibilitat...), la geometrització de patrons numèrics, així com l'aparició de patrons, formes.... L'activitat permet potenciar el raonament i la demostració visual matemàtica.

Material utilitzat 
Fulls A3
Planxes transparents A3
Gomets de colors

Durada
Unes 4 sessions. Dependrà de la quantitat de triangles a realitzar i el grau d'experimentació donat.

Descripció de l'activitat
Es distribueixen els alumnes en grups de 4 o 5 persones com a màxim. A cada grup se li dóna una plantilla del triangle de Pascal. La quantitat de files d'aquest és indiferent, com més millor, tot i que s'ha de tenir en compte que s'hi hauran d'escriure nombres a dins amb  la qual cosa si fem moltes files, les cel·les hauran de ser cada cop més petites i els nombres seran cada cop més grans. Nosaltres vam plantejar l'activitat amb 16 cel·les, ja permitien veure els patrons resultants i les xifres escrites es veien correctament.

    






















Un cop els alumnes tenen el full A3 amb el triangle en blanc es reparteixen el valor de les diagonals i el divisor a treballar en cada cas. El Triangle de Pascal original està format diagonal de valor 1. Cada cel·la és el valor de la suma de les dues cel·les superiors.

http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/images/pascal.hex2.gif 



Ràpidament els alumnes observen la simetria del triangle, amb la qual cosa no cal calcular-lo tot, sinó que amb una meitat tenen automàticament els resultats de l'altre meitat. També observen que en la segona diagonal apareixen els nombres consecutius i altres relacions menys intuïtives com els nombres triangulars a la tercera diagonal.

Tot i això podem construir triangles que no tinguin uns a les diagonals. Podem col·locar-hi nombres negatius, xifres superiors a 1.... els alumnes poden experimentar.



Un cop tenim el triangle construït es col·loquen les planxes transparents a sobre. La idea és senzilla, tapar amb gomets a sobre de la planxa tots els nombres que no compleixen la condició de divisibilitat donada. Anotem amb permanent les característiques del triangle.
En la següent fotografia els alumnes havien de tapar tots els que no eren múltiples de 3.



 O en aquesta els que no eren múltiples de 4.



 
En la fotografia anterior ja es comença a intuir que pot haver-hi algun error en la part inferior del triangle oi?


El fet que cada grup realitzi un triangle diferent fa que poguem obtenir molta varietat de triangles. Aquells alumnes més ràpids poden realitzar-ne més d'un. Pot ser interessant que ells mateixos se l'inventin i que experimentin amb les xifres.

Un cop construïts els triangles podem observar diverses característiques com són la formació de triangles, patrons que hi apareixen, simetries...












Amb la qual els alumnes es formulen diverses preguntes:
-Per què apareixen triangles?
-Quina és la periodicitat d'aquests?
-Com continuaria el Triangle de Pascal?

La pròpia activitat permet que sigui molt autocorrectiva, ja que a simple vist es veu o almenys s'intueixen possibles errades que poden ser de càlcul o de tria de divisors.



I com podem trobar per exemple el triangle amb els múltiples de 6?
la resposta la troben els mateixos alumnes....podem sobreposar el triangle del 2 i el del 3 a veure que passa...


I efectivament apareix el triangle del 6.

A partir d'aquí els alumnes poden experimentar amb nous nombres a les diagonals, nous divisors... fins i tot treballar amb triangles de residus.




Aquest és un triangle format pels nombres que tenen residu 2 quan els dividim per 4. Aquí apareixen coses estranyes i els patrons triangulars ja no són tant evidents.

De Pascal a Sierpinski




Si observem el triangle de diagonals 1, i múltiples de 2 trobem la plantilla del triangle de Sierpinski, aquest és el pas cap a l'activitat que van realitzar els alumnes de 4t d'ESO i que també van presentar a les jornades.




Alumnes de 2n i 4t d'ESO de l'INS Baix a Mar de Vilanova i la Geltrú

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada