dijous, 22 d’octubre de 2015

SIERPINSKI I LES TORRES DE HANOI

Coneixeu les torres de Hanoi? Les torres de Hanoi és un joc d'origen desconegut. En funció de les fonts consultades podem trobar que:

  • Al costat del riu Ganges, el riu sagrat de l’Índia, s’aixeca la ciutat de Benarés. Hi ha una llegenda que explica que al Gran Temple, sota la cúpula que assenyala el centre del món, Déu va posar una safata d’argent amb tres pals diamantins. Durant la creació Déu va posar 64 discs d’or de diàmetres diferents i apilats de més gran a més petit. Aquesta és la torre de Brahma. Dia i nit els monjos del Temple van passant discs d’un pal a un altre d’acord amb les estrictes regles de Brahma. (font: Joan Jareño)
  • Joc matemàtic inventat (el 1883) pel matemàtic francès Édouard Lucas. (font: Wikipèdia)

Independentment del seu origen, passem a descriure les regles del joc:
  • El joc es tracta d'un joc de diversos discs de radi creixent que s'apilen insertant-se en una de les tres estaques del taulell.
  • L'objectiu del joc és crear la pila inicial en una altra estaca seguint les següents regles:
    • Només es pot moure un disc en cada moviment.
    • La configuració de cada estaca ha de disposar els discs amb els radis de forma creixent.

Posició inicial

Posició durant la partida

Posició impossible. Els discs no estan disposats
en ordre creixent.



COMENCEM A RESOLDRE EL PROBLEMA:

Vegem, de forma visual, la solució de les Torres de Hanoi amb 3 discs:










Observem que ho hem fet amb només 7 moviments!

a) Es pot fer amb menys moviments?
b) Quantes posicions possibles hi ha?
c) Hi ha altres camins per a arribar a la solució final?
d) Què passaria amb 4 discs? I amb 5? I amb 6? I amb n discs?


INTRODUIM-NOS A LA SOLUCIÓ DEL PROBLEMA

Proposem la següent notació:

UNITATS: el primer disc de radi de petit a gran (el més petit)
DESENES: el segon disc de radi de petit a gran
CENTENES: el tercer disc de radi de petit a gran 
MILERS: el quart disc de radi de petit a gran
...

Notem amb un 1, a l'estaca de més a l'esquerra; amb un 2, el del centre; amb un 3 el de més a la dreta.




Quantes posicions possibles hi ha amb dos discs?
Una manera fàcil de fer el recompte és el següent. Cada disc pot estar col·locat en una de les tres estaques. Aleshores, el "disc unitat" pot estar en 1, 2 o 3. I de la mateixa manera, el "disc desenes" pot estar col·locat en 1, 2 o 3.

Per tant, en total tenim 9 POSICIONS POSSIBLES.



Les representem?




Si l'objectiu és moure els dos discs de l'estaca 1 a l'estaca 3 equival a anar des de la posició 11 a la posició 33. Aleshores, visualitzant el gràfic, equival a anar de 11 a 33. Quin és el camí més ràpid per fer-ho? LA LÍNIA RECTA!!! En total 3 moviments.


Quantes posicions possibles hi ha amb tres discs?

Si emprem la notació anterior, obtenim el següent diagrama amb 27 posicions diferents:




És fàcil veure que el nombre mínim de moviments és 7 (4·2 - 1).

No obstant, com s'ha obtingut el diagrama anterior? Quina relació hi ha entre els colors groc, vermell i blau? La resposta a aquestes preguntes les deixem a càrrec del lector.


I amb 4 discs?



Una vegada més, un cop construït el diagrama, trobar el camí més curt és ben senzill. Per anar de 1111 a 3333 es necessiten 15 passos (8·2 - 1).



Com podem rebentar el problema?

Quantes posicions diferents hi ha amb 6 discs?
Quantes posicions diferents hi ha amb n discs?

Quin és el nombre mínim de passes per resoldre el joc amb 8 discs?
Quin és el nombre mínim de passes per resoldre el joc amb n discs?

Què passaria si hi hagués 4 estaques?
I 5 estaques?

Quin és el nombre de passos mínim per canviar d'una a una altra configuració?

Posició 1231

Posició 2323



CURS:

Aquest material es podria treballar a diversos cursos. No obstant, considerem que a 3r d'ESO podria ser un molt bon moment per treballar aquest material.



CONTINGUTS CLAU TREBALLATS:


  • Llenguatge i càlcul algebraic. (CC 4)
  • Patrons, relacions i funcions. (CC 5)
  • Figures geomètriques, característiques, propietats i processos de construcció. (CC 9)


COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L'ÀMBIT MATEMÀTIC:
  • Traduir un problema a llenguatge matemàtic o a una representació matemàtica utilitzant variables, símbols, diagrames i models adequats. (CB 1)
  • Generar preguntes de caire matemàtic i plantejar problemes. (CB 4)
  • Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar. (CB 7)
  • Representar un concepte o relació matemàtica de diverses maneres i usar el canvi de representació com a estratègia de treball matemàtic. (CB 9)
Tot i que es treballen diferents competències bàsiques de caràcter matemàtic, per sobre de totes destaca la que fa referència a representar un concepte de diverses maneres. En aquest mateix problema es treballen els blocs de combinatòria, àlgebra, càlcul, geometria, ... I tot a través d'un "SIMPLE" joc!!!


MATERIAL UTILITZAT
  • Un joc de les Torres de Hanoi per grup.
  • Fitxa de treball.
  • En cas de necessitat, alguna de les apps descrites en la part final del document.


DESCRIPCIÓ DE L'ACTIVITAT


El desenvolupament de l'activitat té diversos camins. No obstant, es triï el que es triï, ha de partir del joc i l'experimentació de l'alumne. Possiblement, partir del joc amb 4 discs i preguntar qui és el que és capaç d'aconseguir resoldre el joc amb menys moviments podria ser un bon punt de partida per començar a treballar.

Com denotar les diferents posicions o com denotar els moviments pot ser un primer problema a superar per part de l'alumne.

De moment, és una proposta que no s'ha portat a l'aula. En el moment que es porti a l'aula, recollirem tot el material produït.


PER SABER-NE MÉS
  • Les torres de Hano són franceses? Article d'en Claudi Alsina.
  • Seqüència d'activitats d'en Joan Jareño
  • Apps per poder experimentar (en cas de no tenir torres a mà):
    • Hanoi Towers: La més senzilla de les apps però molt interessant per cercar velocitat de resolució. Pot ser útil per fer concursos a l'aula. Gratuïta.
    • Zen Hanoi: Una variant prou entretinguda per lligar-ho amb el joc original. Es combinen radi i discs de colors diferents. L'objectiu, en cada estaca, un color i radis creixents. Gratuïta.
    • Tower of Hanoi Educational: Només permet jugar amb 3 estaques i entre 3 i 12 discs. No és el millor dels jocs. Gratuïta.
    • The tower of Hanoi, Ancient puzzle: Discs amb paritat de colors (és una bona ajudar per resoldre el problema). Permet jugar amb 3, 4, 5, 6 o 7 estaques. Permet jugar amb diferent nombre de discs (entre 3 i, en alguns casos, fins a 20 discs). Gratuïta.
    • Tower of Hanoy: Una brillant idea (transformar els discs amb cartes). Pesa molt menys i es pot fer el mateix. A més, la idea de paritat comentada amb l'app anterior queda més que clar! Excel·lent!!! Gratuïta.







Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada