dijous, 15 de desembre de 2016

Envàs com vas?

Aquest primer trimestre hem plantejat als grups de 4art d'ESO  fer un projecte d'envasos, dins la unitat de repàs de geometria amb la que hem començat el curs.


Descripció de l'activitat


Ens situem en el context d'una empresa d'envasos que té diferents equips de dissenyadors i enginyers als que els hi fan l'encàrrec de dissenyar un nou envàs. L'empresa treballa per moltes marques i productes diferents: refrescos, productes higiènics, bombons i xocolates, galetes, pizzes, etc...

Es planteja que cada 3 o 4 persones es formi un equip, s'esculli producte i marca, i es creï un nou envàs que doni resposta a les necessitats del producte.

Les condicions que posen els clients en tots els casos són les següents:

- Capacitat de l'envàs: exactament 1 litre = 1000 cm3
- Forma de l'envàs: almenys una de les seves cares ha de ser un polígon irregular de 5 o més costats

A partir d'aquestes premisses els grups es posen a treballar, tenint en compte un calendari de 7 sessions de treball i que se'ls hi demanarà com a resultat final del projecte:

1. Un document que reflecteixi el procés creatiu i de càlculs per assolir els objectius.
2. Una maqueta de l'envàs amb les dimensions establertes en el document
3. Una pel·lícula que reflecteixi el treball realitzat i la prova final

Primeres sessions: disseny i càlculs

Les primeres tres o quatre sessions ens permeten:
- formar els grups, escollir productes, marques, etc.
- fer primers esbossos de nous dissenys i escollir-ne un
- calcular les dimensions de l'envàs tenint en compte les premisses
- dibuixar l'envàs en perspectiva i fer-ne el desenvolupament amb les mesures corresponents.

Sessions  de construcció de l'envàs

Es continua el treball amb la construcció de la maqueta de l'envàs. Cada grup tria el material amb el què fa l'envàs, i intenta ser fidel al disseny en paper. Se'ns plantegen els primers problemes per portar de la teoria a la realitat el nostre envàs!




La majoria de dissenys corresponen a prismes de base irregular, però també hi ha piràmides i cossos geomètrics ben originals.



Últimes sessions

Les darreres sessions les dediquem a fer la prova de capacitat dels 1000 cm3, alguns grups ho provem amb arròs i els més atrevits amb aigua!





Aprofitem la darrera sessió per montar les pel·lícules del projecte a partir de les fotos i els vídeos que han anat recollint dia a dia.

Mostra de pel·lícules

Aquí us deixem una mostra de les diferents presentacions que han realitzat els alumnes de 4rt. A veure què us semblen!

De l'Aisha i la Maria


Del Gerard, el Jan i l'Ann


Del Danil

4t ESO Ins Baix a Mar

diumenge, 10 de juliol de 2016

Balances algebraiques

Aquesta és una activitat emmarcada en la unitat d'àlgebra que s'ha realitzat a 2n d'ESO, dins del bloc relacions i canvis del currículum de secundària.

Material:

-unes barres metàl·liques que haurem de foradar a la mateixa distància
-filferro (nosaltres hem utilitzat clips)
-cordill
-pesos (nosaltres hem utilitzats policubs)

Les balances les hem penjat al laboratori de matemàtiques de forma permanent. Hem construït 5 balances ja que l'activitat pensada és per a 5 grups de treball d'uns 5 alumnes.



A vegades la balança no acaba de quedar ben equilibrada, ja que petites imperfeccions generen desviacions a tenir en compte, el fregament del cordill per exemple. Es poden enganxar alguns gomets a la punta per contrarestar aquestes desviacions fins a tenir-la equilibrada d'inici.




Proposta didàctica

Les activitats que es poden plantejar són diverses, i es pot anar graduant de nivell. L'objectiu de l'activitat és la realitzar una sèrie de propostes i que els alumnes argumentin i raonin el perquè de les respostes. Les propostes que varem fer als alumnes van ser les següents:

Repte 0
Observa la següent balança:


En quina posició s'ha de disposar els tres pesos de color vermell per tal d'equilibrar la balança?
Aquesta és una activitat per escalfar. Els alumnes van provant fins a compensar-la i comencen a reflexionar sobre el perquè...

Repte 1
Equilibra la següent balança (només pots afegir pesos en una posició)
1.- Quantes solucions diferents té aquest problema? Què tenen en comú totes les solucions trobades?
2.- Tradueix el problema a llenguatge algebraic.

La segona activitat pretén generalitzar el problema, i que els alumnes trobin fórmules comunes que permetin equilibrar les balances. Aquí teniu alguna de les solucions:





I aquí una petita mostra de la investigació que van fent els alumnes traspassant-ho a la llibreta.


(Aquesta activitat és una bona manera per introduir la proporcionalitat inversa).

Repte 2
Equilibra la següent balança (només pots afegir pesos en una posició)

1.- Quantes solucions diferents té aquest problema? Què tenen en comú totes les solucions trobades?
2.- Tradueix el problema a llenguatge algebraic.

Anem a posar un petit canvi al problema. Que passa quan pengem més d'un pes a una banda? Continuen complint-se les mateixes relacions que abans? Els alumnes han de tornar a investigar i generalitzar el problema.

Ara que ja sabeu com funciona....us atreviu?



Repte 3

En quines posicions has de situar els dos paquets (un d'una peça i un de dues peces) donats per tal d'equilibrar la balança?




1.- Quantes solucions diferents té aquest problema? Què tenen en comú totes les solucions trobades?
2.- Tradueix el problema a llenguatge algebraic.

(Una bona manera per introduir l'equació de la recta en el pla).


2n ESO Matemàtiques Baix a Mar

Vitralls funcionals

Aquest projecte s'ha dut a terme a 4t d'ESO com cloenda del bloc de funcions. En les diferents parts del currículum de 4t d'ESO s'indica que s'han de treballar les funcions lineals i afins, quadràtiques i les exponencials. En l'organització de la unitat es va dividir en dues parts: descoberta de diferents propietats de cadascuna de les famílies de funcions per, posteriorment, aplicar-lo en el disseny i construcció d'un vitrall.

  • Material necessari
- Paper d'embalar.
- Retolador negre permanent
- Estovalles de plàstic transparent
- Papers de cel·lofana de 4 colors diferents.
- Cinta adhesiva, colors, cola de tub, llapis, ...

  • Descripció de l'activitat
- Inicialment, cada grup comença fent esbossos del seu vitrall. Alguns grups, comencen per esbossos fets a mà alçada i, posteriorment, amb l'ús del Geogebra, intenten aproximar les seves idees inicials a funcions. D'altres, parteixen des del Geogebra directament. Per fer-ho, tenien a la seva disposició, dos applets per poder determinar les característiques de les seves funcions:



(esbós fet pels alumnes amb geogebra)

- Un cop dissenyat la base del seu vitrall, els alumnes passen les seves funcions al paper d'embalar. Per fer-ho, prèviament hauran d'haver dibuixat uns eixos cartesians. Alguns grups, per intentar ser més precisos, afegeixen una quadrícula. Les dimensions de cada vitralls oscil·len entre quadrats de 70cm a 100cm de costat.



- Seguidament, l'alumnat ha calcat tot el treball fet en el paper d'embalar a les estovalles de plàstic transparent. De fet, ho calcaven tot excepte els eixos cartesians (i la quadrícula, si escau). Per calca-ho, empraven el retolador permanent.





- Un cop calcades les fronteres de les regions definides per les funcions, només falta el darrer pas: retallar les regions de diferents colors amb paper de cel·lofana. Per fer-ho, només cal tenir en compte una qüestió (que dues regions que comparteixen frontera, no poden tenir el mateix color). Amb quatre colors en tenim prou (el teorema dels quatre colors).



Fitxer_003.jpeg
  • Observacions metodològiques

Aquesta activitat es pot ampliar a altres famílies de funcions. També, amb molt poc més, es pot parlar de sistemes d'inequacions (per treballar a 2n de batxillerat social, per exemple). Una altra possible aplicació és calcular la superfície de cada color: per fer-ho, podríem calcular les àrees de cada regió amb el càlcul integral (aplicable a 2n de batxillerat científic).

Tot i que amb les indicacions metodològiques descrites en el paràgraf anterior, estem proposant activitats complementàries de dificultat més alta, aquesta activitat s'adapta perfectament a alumnes amb més dificultats amb la matèria. Un cop portada l'activitat a l'aula hem vist que tothom hi té lloc. Podem adaptar l'activitat a només funcions afins. D'aquesta manera estarem delimitant regions amb segments rectilinis.

4t ESO Ins Baix a Mar

Tallem cilindres...

Quantes vegades hem tallat un fuet o botifarra a rodelles primetes i al biaix? (Només de pensar-hi em fa venir salivera!)

La proposta d'investigació que es descriu en les properes línies parteix d'aquest moment "culinari" tan meravellós.


ACTIVITAT INICIAL




  • Material necessari
- Cilindres de diferents radis.
- Ganivet que talli bé (preferiblement, NO de serra).
- Fusta per tallar.
- Tisores
- Eixos cartesians en un DIN A3 amb una graella de distància 1cm (opcional)
- Paper (faig servir paper d'embolicar regals d'un color)
- Cinta adhesiva.
- Si no porteu el material... Teniu aquest el següent applet fet amb Geogebra que fa gairebé el mateix (l'applet funciona molt millor si us el descarregueu i treballeu en local).

  • Descripció de l'activitat
- Enrotlleu un cilindre amb el paper. Feu-ne uns quants tombs (5, 6, 7, ... tombs)


- Poseu una mica de cinta adhesiva per tal que no el mogui el paper (no us passeu!)


- Talleu el cilindre en biaix per la part central (al final, completeu el tall amb unes tisores).


- Fi de l'activitat manual... Comencem a respondre preguntes!

  • Bateria de preguntes a respondre
Preguntes relacionades amb la secció:
- El tall genera una el·lipse. Sempre serà així?
- Estudiem l'el·lipse obtinguda (en el cas que l'obtinguem):
     . Quina longitud tenen els semieixos de l'el·lipse? De què depèn?
     . De què depèn la distància focal?



Encara no hem parlat del paper... Segur que us heu preguntat per què hem enrotllat el cilindre, oi?
Abans de desenrotllar-lo...

- Que creieu que passarà amb el paper desenrotllat? Quina forma tindrà?

Desenrotlleu-lo i poseu-lo sobre els eixos cartesians. Molt bé... és una funció periòdica!
- Quin és el seu període? De què depèn?
- Quina és la seva amplitud? De què depèn?

Una vegada més, podeu utilitzar l'applet per fer les vostres conjectures.

- Podríeu definir la funció? Una possible solució la trobareu AQUÍ.


  • Observacions
Aquesta activitat s'ha dut a terme com activitat introductòria de funcions amb un grup de matemàtiques de 2n de batxillerat científic. L'activitat també podria fer-se també a 1r de batxillerat (potser no com a activitat introductòria).



Com sempre, les activitats quan es porten a l'aula, milloren. A l'institut Baix a Mar ens agrada rebentar els problemes que entren a l'aula (a vegades els rebenta el professor, a vegades els alumnes). Un cop investigades les relacions entre angle de tall, radi, el·lipse resultant i la funció resultant, un alumne va dir:

- Què passaria si talléssim un altre cos que no sigui un cilindre? (amb aquesta pregunta acaba de rebentar el problema!)



SEGONA PART

A la meravellosa pregunta només es podia respondre d'una única manera: amb més preguntes!

- Amb quins cossos estàs pensant?
- Un con, una esfera, un prisma, una piràmide...
- Aturem la màquina uns segons! Estudiem cada cas que proposes:
     . Un con i una piràmide: no tinc clar com ho podríem embolicar!
     . Un prisma: després ho comentem
     . Una esfera: parlem! Saps que és impossible representar exactament el planeta Terra en un mapa pla? Pel mateix motiu no podem embolicar perfectament una esfera. Per aquest motiu, aquest cas l'hem de descartar.

(Com ens hem desviat de la qüestió inicial en un moment!)

Tornem a l'estudi proposat: què passaria si canviem el cilindre per un prisma? Donat que la pregunta és prou àmplia, podem desgranar-la amb subpreguntes que l'alumnat sigui més capaç de poder atacar per tal d'arribar a algunes conclusions (difícilment podrem resoldre la megapregunta inicial). Per al seu estudi, només caldrà disposar de prismes per seccionar o emprar l'applet proposat AQUÍ.

  • Visió geomètrica del problema
- Si la secció del cilindre era, en la gran majora de casos, una el·lipse, quan seccionem un prisma, quina secció obtenim? Quines propietats tindrà la secció? Quina relació hi ha la secció i el prisma?

- Donades les coordenades dels vèrtexs de la base del prisma, com podem determinar les coordenades dels vèrtexs del polígon generat amb la secció? La geometria a l'espai de 2n de batxillerat ens pot ser de molta ajuda (de fet, cada cara és un pla i la secció és un altre pla... aleshores, la secció estarà formada per _ _ _ _ _ _ _ _ ).

  • Visió analítica del problema
Si parlem del "desplegament" del paper d'embolicar...

- Quines propietats té la funció definida a trossos? (domini, punts de tall, continuïtat, derivabilitat, creixement i decreixement, ...)

- Un cop vistes les primeres propietats, donades totes les dades (les del prisma i del pla), sabríem determinar l'equació de la funció definida a trossos?

I, si volem anar més endavant... tota funció definida a trossos on cada tros és un segment, ve definida per la secció prisma per un pla?


Una altra opció referent a la secció d'un prisma per un pla és acotar. Propostes d'acotació podrien ser les següents:

- Acotar el problema a prismes concrets
     . Estudi de prismes que tenen per base polígons regulars. Podeu estudiar aquest problema amb següent applet (clica AQUÍ)
          . Quina relació hi ha entre aquesta proposta i la inicial (amb la secció del cilindre)?

- Acotar el problema a prismes de base rectangular.

- Quines diferències observes amb prismes de base poligonal convexa o cóncava?


Com podeu veure, tenim un problema obert que tenim molt per investigar. Estimat lector, t'animes a contribuir a rebentar més aquest problema?

2n BAT Ins Baix a Mar

dimecres, 20 d’abril de 2016

Fotografia matemàtica

Una de les activitats que hem plantejat aquest any ha estat la realització d'una fotografia matemàtica associada a un problema.
Aquí teniu les fotos seleccionades.

Albert Ferrer 3r ESO: Alta tensió





Fiona Frangioni 2n ESO: Parells 




Addaia Valeriano 2n ESO: Una esfera a milions de quilòmetres



Família Rovira (Famílies): 5*10^42 vegades més difícil




Douaa Zenimi 1r ESO: L'equip amb més punts




Laia Guallar 2n ESO: Una Torre Eifell ben proporcional




Laura Hernández 4t ESO: Agafat amb pinces




Laia Sánchez 1r ESO: L'infinit




Lucca Zucconi 1r ESO: Combinació de colors





Meritxell Marqués 2n BAT: Joc de fraccions unitàries




Irene Martínez 2n ESO: La platja semicircular




Amàlia Morató 2n BAT: L'ombra de l'espiral





Francesc X. Pérez: Pi-ano




Ainhoa Serrano 4t ESO: Quina hora és?




Jan Romagosa 3r d'ESO: La tanca



Josep Oriol Grau 3r ESO: Quins ous!




Òscar Martínez 3r ESO: Quin descontrol de notes!


Marta Tejedor 1r BAT: Per pujar i baixar


Nerea Arzamendi 1r BAT: El Laberint de Lhitica



dijous, 17 de març de 2016

Les equacions de 2n grau segons els àrabs

Al sIX el centres culturals i científics del món es trobaven bàsicament en els territoris àrabs. Explicarem el seu principal matemàtic i com resolien les equacions de 2n grau.


Mohammed Ibn Musa Al-khwarizmi




Al-Khwarizmi està considerat com el primer matemàtic àrab. També va ser astrònom i geògraf. Va viure del 780 al 850, aproximadament. El seu nom complet és al-Djafar Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, que significa Mahommed, fill de Musa, natural de Khwarizm (actualment a Uzbekistan, a una regió al voltant del mar d’Aral ), i pare de Jafar.

Se sap molt poc de la seva vida. Va realitzar molts viatges per Afganistan, pel sud de Rússia, i Bizanci, realitzant observacions científiques i recollint material d’investigació. L’any 820, després d’obtenir reputació com a científic, va ser cridat pel califa al-Mamun, per ser anomenat astrònom primer, i més tard cap de la Casa de la Saviesa. Així, es convertí en un recopilador de coneixements de Grècia i la Índia, dirigint la feina de traducció. Va adoptar el rigor dels grecs i la simplicitat dels hindús.


Per ell, les matemàtiques havien de servir per solucionar problemes pràctics, com ara determinar herències, construir calendaris,...Al-Khwarizmi és molt conegut gràcies al seu llibre sobre aritmètica “De numero indorum”, on s’introdueix a Europa el sistema de numeració hindú, el sistema que actualment utilitzam, a més del nombre zero. D’aquí, se’n derivaren les paraules guarisme i algorisme.


Però, a-Khwarizmi té com a obra més important una altra: al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, d’on té l’origen la paraula àlgebra. S’han conservat dues versions, l’àrab i la traducció llatina, que es va convertir en un llibre de text o els europeus començaren l’estudi de l’àlgebra. El llibre té l’objectiu de donar una sèrie de mètodes per trobar la solució d’equacions, sobretot les quadràtiques. Precisament, aquí té l’origen la noció d’equació, prenent força el concepte d’igualtat. Al-Khwarizmi anomena cosa (chei en àrab) al valor que desconeix, la incògnita.Tracta la incògnita com si fos un altre nombre. Utilitza tres tipus de quantitats: quadrats, arrels i nombres (x2, x, unitats).
Una de les particularitats de la seva obra és que està escrita sense utilitzar sincopacions, és a dir, tot ho escriu de manera literal, fins i tot els nombres. A més, tampoc utilitza els nombres negatius.

Un exemple de resolució d'una equació de 2n grau

Suposem la següent equació:
La podem reescriure com
En podem fer la següent representació gràfica:

Com es veu a la imatge representem una quadrat de costat x. El terme b el dividim en dos rectangles de costat x i 6 respectivament. Com es veu a la imatge ens quedat un quadrat d'àrea 36.

El nou quadrat té àrea 64, ja que 28 + 36 = 64. Per tant, aquest nou quadrat té costat 8. Per diferència sabem que el quadrat de costat x té costat 2 = 8- 6

Fem les comprovacions pertinents

Aquest és un mètode interessant de resoldre equacions de segon grau però les preguntes que acaben sortint són:

-que passa quan el terme c és positiu
-que passa amb les altres solucions de l'equació?

Abril Aguilar i Marius Enache 4t ESO