diumenge, 10 de juliol de 2016

Tallem cilindres...

Quantes vegades hem tallat un fuet o botifarra a rodelles primetes i al biaix? (Només de pensar-hi em fa venir salivera!)

La proposta d'investigació que es descriu en les properes línies parteix d'aquest moment "culinari" tan meravellós.


ACTIVITAT INICIAL




  • Material necessari
- Cilindres de diferents radis.
- Ganivet que talli bé (preferiblement, NO de serra).
- Fusta per tallar.
- Tisores
- Eixos cartesians en un DIN A3 amb una graella de distància 1cm (opcional)
- Paper (faig servir paper d'embolicar regals d'un color)
- Cinta adhesiva.
- Si no porteu el material... Teniu aquest el següent applet fet amb Geogebra que fa gairebé el mateix (l'applet funciona molt millor si us el descarregueu i treballeu en local).

  • Descripció de l'activitat
- Enrotlleu un cilindre amb el paper. Feu-ne uns quants tombs (5, 6, 7, ... tombs)


- Poseu una mica de cinta adhesiva per tal que no el mogui el paper (no us passeu!)


- Talleu el cilindre en biaix per la part central (al final, completeu el tall amb unes tisores).


- Fi de l'activitat manual... Comencem a respondre preguntes!

  • Bateria de preguntes a respondre
Preguntes relacionades amb la secció:
- El tall genera una el·lipse. Sempre serà així?
- Estudiem l'el·lipse obtinguda (en el cas que l'obtinguem):
     . Quina longitud tenen els semieixos de l'el·lipse? De què depèn?
     . De què depèn la distància focal?



Encara no hem parlat del paper... Segur que us heu preguntat per què hem enrotllat el cilindre, oi?
Abans de desenrotllar-lo...

- Que creieu que passarà amb el paper desenrotllat? Quina forma tindrà?

Desenrotlleu-lo i poseu-lo sobre els eixos cartesians. Molt bé... és una funció periòdica!
- Quin és el seu període? De què depèn?
- Quina és la seva amplitud? De què depèn?

Una vegada més, podeu utilitzar l'applet per fer les vostres conjectures.

- Podríeu definir la funció? Una possible solució la trobareu AQUÍ.


  • Observacions
Aquesta activitat s'ha dut a terme com activitat introductòria de funcions amb un grup de matemàtiques de 2n de batxillerat científic. L'activitat també podria fer-se també a 1r de batxillerat (potser no com a activitat introductòria).



Com sempre, les activitats quan es porten a l'aula, milloren. A l'institut Baix a Mar ens agrada rebentar els problemes que entren a l'aula (a vegades els rebenta el professor, a vegades els alumnes). Un cop investigades les relacions entre angle de tall, radi, el·lipse resultant i la funció resultant, un alumne va dir:

- Què passaria si talléssim un altre cos que no sigui un cilindre? (amb aquesta pregunta acaba de rebentar el problema!)



SEGONA PART

A la meravellosa pregunta només es podia respondre d'una única manera: amb més preguntes!

- Amb quins cossos estàs pensant?
- Un con, una esfera, un prisma, una piràmide...
- Aturem la màquina uns segons! Estudiem cada cas que proposes:
     . Un con i una piràmide: no tinc clar com ho podríem embolicar!
     . Un prisma: després ho comentem
     . Una esfera: parlem! Saps que és impossible representar exactament el planeta Terra en un mapa pla? Pel mateix motiu no podem embolicar perfectament una esfera. Per aquest motiu, aquest cas l'hem de descartar.

(Com ens hem desviat de la qüestió inicial en un moment!)

Tornem a l'estudi proposat: què passaria si canviem el cilindre per un prisma? Donat que la pregunta és prou àmplia, podem desgranar-la amb subpreguntes que l'alumnat sigui més capaç de poder atacar per tal d'arribar a algunes conclusions (difícilment podrem resoldre la megapregunta inicial). Per al seu estudi, només caldrà disposar de prismes per seccionar o emprar l'applet proposat AQUÍ.

  • Visió geomètrica del problema
- Si la secció del cilindre era, en la gran majora de casos, una el·lipse, quan seccionem un prisma, quina secció obtenim? Quines propietats tindrà la secció? Quina relació hi ha la secció i el prisma?

- Donades les coordenades dels vèrtexs de la base del prisma, com podem determinar les coordenades dels vèrtexs del polígon generat amb la secció? La geometria a l'espai de 2n de batxillerat ens pot ser de molta ajuda (de fet, cada cara és un pla i la secció és un altre pla... aleshores, la secció estarà formada per _ _ _ _ _ _ _ _ ).

  • Visió analítica del problema
Si parlem del "desplegament" del paper d'embolicar...

- Quines propietats té la funció definida a trossos? (domini, punts de tall, continuïtat, derivabilitat, creixement i decreixement, ...)

- Un cop vistes les primeres propietats, donades totes les dades (les del prisma i del pla), sabríem determinar l'equació de la funció definida a trossos?

I, si volem anar més endavant... tota funció definida a trossos on cada tros és un segment, ve definida per la secció prisma per un pla?


Una altra opció referent a la secció d'un prisma per un pla és acotar. Propostes d'acotació podrien ser les següents:

- Acotar el problema a prismes concrets
     . Estudi de prismes que tenen per base polígons regulars. Podeu estudiar aquest problema amb següent applet (clica AQUÍ)
          . Quina relació hi ha entre aquesta proposta i la inicial (amb la secció del cilindre)?

- Acotar el problema a prismes de base rectangular.

- Quines diferències observes amb prismes de base poligonal convexa o cóncava?


Com podeu veure, tenim un problema obert que tenim molt per investigar. Estimat lector, t'animes a contribuir a rebentar més aquest problema?

2n BAT Ins Baix a Mar

1 comentari:

  1. Què bo!! els applets de geogebra tb boníssims! moltes felicitats!

    ResponElimina