dimarts, 10 d’octubre de 2017

Enrajolem (2)

Aquesta entrada ve enllaçada del projecte Enrajolem que es va dur a terme durant el curs 2016-17 amb l'alumnat de 1r d'ESO del centre. Tanmateix, aquest projecte parteix d'una conferència que va donar en José Antonio Mora en unes jornades de la societat catalana de GeoGebra de fa uns anys. L'activitat constava en un seguit d'activitats amb un únic objectiu: dividir una rajola quadrada en dues regions d'igual àrea. L'enunciat és prou obert per tal d'arribar a tota la DIVERSITAT de l'aula. Si el lector està interessat en veure en més detall l'activitat duta a l'aula, l'animem a entrar en l'enllaç anterior.

No obstant, aquest post va en la direcció de presentar un applet fet en GeoGebra que pot ser, inicialment, un bon suport per presentar el projecte a l'alumnat a l'aula. No obstant, té una segona mirada de més profunditat que permet treballar la periodicitat en base 4. Anem-ho a veure!

Partir de la motivació que va dur a la creació del GeoGebra és un bon punt de partida per entendre'l en la seva totalitat. La idea era fer un applet prou gran que intentés recobrir la gran majoria de propostes de rajoles de l'alumnat de 1r d'ESO per tal de veure possibles enrajolats amb un disseny donat. L'enrajolat proposat per l'alumnat havia de tenir una lògica que es pogués repetir "infinitament". Aquest fet ens va portar a pensar en el concepte de PERIODICITAT associada a la notació decimal d'un nombre racional. De fet, interessava poder treballar amb una notació periòdica que indiqués l'angle de rotació del disseny inicial (0º, 90º, 180º i 270º). Aquest problema era equivalent a pensar en xifres decimals prenent per dígits 0, 1, 2 i 3. Treballar en base 10 no ajudava a treballar només amb aquests 4 dígits. Per tant, calia associar el problema a una base diferent... LA BASE 4. Per tant, l'applet associa a cada fracció en base 10 i la seva notació decimal en base 4 amb una disposició diferent de cadascuna de les rajoles. Aquest fet està íntimament lligat amb l'article dels amics de PuntMat anomenat Decimals periòdics: en un apartat d'aquesta excel·lent entrada s'exploren els períodes en diferents bases.

Entrem a detallar les peculiaritats de l'applet. En la finestra gràfica associada al menú, l'usuari pot escollir entre 8 propostes de rajoles amb una peculiaritat en comú: les regions de cada color ocupen la mateixa superfície. De fet, hi ha molts més dissenys possibles. No obstant, els proposats venen a través de la proposta de l'alumnat de 1r d'ESO del nostre centre. Cal remarcar que l'elecció de la rajola és una mica lent (no tingueu pressa!). A més, per cada rajola, es pot determinar el color de cada regió. Per anar acabant, ens agradaria poder posar un parell d'exemples que esperem que siguin una mica més esclaridors:


  • Cap de les rajoles està rotada: Aquesta primera situació l'associarem a la fracció 0/n. En aquest cas, el decimal que es repeteix és el 0 (cal fer aquest petit abús del llenguatge amb les xifres decimals).

  • Cerquem una periodicitat cada dues rajoles: Per trobar aquesta periodicitat hem de situar-nos amb un denominador igual a 15 (de fet, 16 - 1).

  • Cerquem una periodicitat cada dues rajoles: L'exemple anterior, no ens acaba d'agradar (estèticament parlant). Ens hagués agradat que els decimals "corressin" un lloc. Com ho podríem fer? Multiplicant per 4 (la base en la qual estem treballant) "correrem" un lloc les xifres decimals.

  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles: Per trobar aquesta periodicitat hem de situar-nos amb un denominador igual a 255 (de fet, 256 - 1). A mida que anem ampliant les mires, la varietat d'enrajolats augmenta.
  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles (continuació de l'anterior): Si mantenim la fracció de l'exemple anterior i fem zoom sobre la pantalla de l'enrajolat, en canviar el nombre de rajoles per fila, l'enrajolat varia.
  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles (continuació de l'anterior): Per anar acabant, podem modificar els colors. Segurament, aquest darrer exemple, té més valor estètic que matemàtic. No obstant, hem volgut posar aquesta darrera imatge per mostrar el potencial de l'applet.



OBSERVACIONS FINALS.-

Emprar els decimals periòdics en base 4 no és imprescindible per determinar la periodicitat d'un enrajolat. Però, la transversalitat que ens propicia l'ús i comprensió d'aquest applet es valora com un exercici prou complert per alumnat de nivell superior de secundària o batxillerat. Convidem al lector a experimentar amb diferents rajoles, fraccions i amplades d'enrajolats! Per fer-ho, només cal que cliqueu AQUÍ.

divendres, 6 d’octubre de 2017

Boles i números

Aquest és una altra de les experiències que vam presentar a la XIV Jornada d'Ensenyament de les Matemàtiques. Aquest any tots els alumnes de l'institut han començat realitzant experiments probabilístics i de modelització. Aquest és un dels que es va realitzar a 1r d'ESO.

El joc és ben senzill:
En una bossa hi ha 5 boles numerades de 2 al 6. N'extreiem dues alhora i les sumem, si surt parell guanyes, si surt senar perds. Té avantatge alguna opció?


Primer hem vist clar que totes les boles tenen la mateixa possibilitat de sortir, alguns han plantejat la hipòtesi de que el parell guanya ja que tenim 3 parells (2,4 i 6) i només dos senars. Altres han apuntat que a més si sumes dos parells dóna parell, si sumes dos senars també dóna parell i només quan sumes parell i senar el resultat és senar. Alguns altres diuen que el joc és just.

Primerament hem fet l'experiment una sèrie de vegades obtenint el següents resultats:


Experiment
Bola 1
Bola 2
Suma
1
5
2
7
2
2
4
6
3
4
3
7
4
6
5
11
5
6
4
10
6
4
2
6
7
4
5
9
8
5
2
7
9
4
5
9
10
6
3
8
11
4
6
10
12
3
4
7
13
6
3
9
14
2
3
5
15
5
2
7
16
4
6
10
17
2
3
5
18
5
2
7
19
4
3
7
20
4
5
9

Percentatge senars:
13/20
0,65
Percentatge parells:
7/20
0,35


Veient els resultats sembla que el senar té avantatge, això va en contra del que alguns havien conjecturat.... així que anem ara a estudiar el joc:


3 parells i 2 senars
23456
2X5678
3X789
4X910
5X11
6X




Senar6/100,6
Parell4/100,4



En contra del que pensava la majoria, resulta que el senar té avantatge. De deu resultats possibles, 6 són senars i 4 parells. Perquè passa això? Doncs perquè al extreure les boles mai podrem sumar un número amb ell mateix, i aquests resultats, que són parells, mai passaran. La intuïció ens ha fallat!!

Llavors plantegem una possible ampliació del joc. Existeix un joc just amb 5 boles si n'extreiem dues alhora?

La Jana Andreu de 1C ha estudiat les diferents combinacions de parells i senars amb un joc de 5 boles.


5 parells
246810
2X681012
4X101214
6X1416
8X18
10X

Senar 0/10 0
Parell10/101guanya

4 parells i un senar
12468
1X3579
2X6810
4X1012
6X14
8X


Senar4/100,4
Parell6/100,6guanya

3 parells i 2 senars
23456
2X5678
3X789
4X910
5X11
6X

Senar6/100,6guanya
Parell4/100,4

2 parells i 3 senars
12345
1X3456
2X567
3X78
4X9
5X

Senar6/100,6guanya
Parell4/100,4

1 parell i 4 senars
12357
1X3468
2X579
3X810
5X12
7X

Senar4/100,4
Parell6/100,6guanya

5 senars
13579
1X46810
3X81012
5X1214
7X16
9X

Senar0/100
Parell10/101guanya

Aquí teniu un resum de tots els resultats possibles:


5 parellsparell
4 parells i un senarparell
3 parells i 2 senarssenar
2 parells i 3 senarssenar
1 parell i 4 senarsparell
5 senarsparell

Algunes conclusions a les que arriben els alumnes:
- El joc mai és just, sempre guanya parell o senar
- Hi ha més combinacions que fa guanyar el parell
- Amb combinacions de 5 iguals o de 4 i 1 guanya parell, amb combinacions de 2 i 3 guanya senar

I si tinguèssim 6 boles??????????

Un bon experiment que segueix perfectament la seqüència d'experimentar, descobrir, conceptuar i demostrar.

Aquí teniu alguna imatge de la jornada en la qual vam presentar l'activitat:





Alumnes de 1r d'ESO de l'INS Baix a Mar