dissabte, 30 de setembre de 2017

Daus prísmics

Sovint, en entrar a batxillerat, un dels blocs temàtics que solen passar a millor vida és el de probabilitats. De la mateixa manera que Poincaré afirmava que només hi ha dues maneres per a ensenyar fraccions (tallar, encara que sigui mentalment, un pastís, o fer-ho amb una poma), per aprendre probabilitats és essencial que l'alumnat experimenti, descobreixi, conjecturi i formalitzi. El laboratori de matemàtiques M. Antònia Canals és un terreny immillorable per desenvolupar aquest tipus d'investigacions.

La idea de l'activitat va sorgir amb la lectura del llibre Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria (Calvo, C.; Deulofeu, J.; Jareño, J.; i Morera, L.). En la pàgina 220 ens apareix la següent proposta d'activitat:

Actividad 6.11. Estudio de dados trucados. ¿Como podemos conocer la probabilidad de que salga una cierta cara en un dado trucado?

En una de les propostes d'ampliació de l'activitat s'obre la porta a "experimentar, por ejemplo, con un prisma de madera de base triangular". En el text, es comenta que l'alumnat té la possibilitat de conjecturar sobre relació entre les propietats geomètriques del dau i la probabilitat de les respectives cares (dependrà de l'àrea de cada cara, de la distància de les cares al centre de gravetat...?). Aquest és el punt de partida de la proposta descrita a continuació:

Exemple d'alguns daus prísmics de diferents altures

PROPOSTA D'ACTIVITAT.-
Es dissenyen sis tipus de daus prísmics amb base triangular. En tots els casos, les bases seran triangles equilàters de costat 2 cm i, en cada cas, el que farem és variar l'altura de cada dau. Els daus portats al laboratori són els següents:
  • DAU 1.- Altura 2 cm (arestes d'igual longitud)
  • DAU 2.- Altura 1,5 cm
  • DAU 3.- Altura 1,236 cm (rectangles laterals auris)
  • DAU 4.- Altura 1,155 cm (les distàncies de les cinc cares al centre de gravetat són iguals).
  • DAU 5.- Altura 1 cm
  • DAU 6.- Altura 0,866 cm (les àrees de totes les cares són iguals).
Aprofitem la possibilitat de poder imprimir els daus amb una impressora 3D? (aquella que alguns de vosaltres teniu al centre mig aturada!). En aquest cas, amb coordinació amb el CREAMAT - CESIRE, s'han imprès un mínim de 10 daus de cada tipus amb una densitat d'un 99%.

L'alumnat, distribuït en grups de 4 a 6 alumnes, realitzen simulacions amb un tipus de dau (en total, 6 grups en una aula). Gràcies a La llei dels grans nombres, l'alumnat pot arribar a conjecturar la probabilitat de cadascuna de les cares del dau a estudiar. 

Un cop presentada l'activitat a l'aula, l'alumnat sol fer la pregunta de milió: Quantes vegades hem de fer l'experiment? Evidentment, si poguéssim fer infinits llançaments de cada dau, podríem esbrinar la probabilitat de cada cara però... ni tenim infinit temps, ni infinites ganes de fer-ho! Amb el mateix grau d'evidència, quan més alt sigui el nombre de llançaments, la freqüència relativa de cada esdeveniment fàcilment s'aproparà a la probabilitat de cada cas. És en aquest moment, una ocasió ideal per parlar de la mida de la mostra. En aquests nivells, ens podem limitar a utilitzar aquesta fórmula:


on r és el marge d'error entre la freqüència relativa i la probabilitat teòrica en funció del nombre de mostres (n) amb un nivell de confiança del 95,5%. Aquest fet és molt interessant en el moment que l'alumnat fa treballs de recerca de caràcter estadístic amb mides de mostra molt petites.

Un cop portada aquesta activitat al laboratori, es poden recollir els resultats en un full de càlcul. Podeu consultar els resultats obtinguts pels alumnes del nostre centre en el següent enllaç: https://docs.google.com/spreadsheets/d/10tNrB5fh5MKqHLmuOkQINwlXI8SOgeweMM1heTaQNZY/edit#gid=0

Amb els resultats a la mà (de fet, en la taula) podem observar que la probabilitat que surti un rectangle augmenta a mida que l'altura del prisma augmenta (fet evident d'entrada). No obstant, quin valor ha de prendre l'altura per tal que la probabilitat que surti cada cara és la mateixa? Estudiant els resultats, podem conjecturar que l'altura haurà de mesurar entre 1,236 i 1,5. Podem fer aquesta afirmació suposant que la funció definida per la probabilitat de "sortir rectangle amb una altura donada" és contínua. Aplicant el teorema del valor intermig, podem afirmar que existeix un valor entre els descrits anteriorment tal que P("sortir rectangle") = 0,6.

A partir d'aquí s'obren força portes a investigar:

1.- Quins fonaments físics modelitzen la probabilitat dels daus creats?
2.- Els daus s'han imprès amb una impressora 3D amb la cara triangular sobre la base de la impressora. Serà igual el comportament del dau si l'imprimim amb una cara rectangular sobre la base de la impressora 3D?
3.- Els daus s'han imprès amb un 99% de densitat. Si haguéssim imprès daus menys densos... el comportament dels daus hagués estat el mateix?
4.- Quins serien els propers daus a imprimir per seguir la investigació? Quin fenomen físic justifica la proposta dels nous dissenys?
4.- Estudiem altres tipus de daus?
          - Daus prísmics de base polígons regulars.
          - Daus amb forma de piràmide amb base polígons regulars.
          - Daus arquimedians.
          - Daus de Catalan (poliedres de Catalan)
          - ...

Com es pot observar, el camp d'investigació es ben gran. Tot i que quan arribem a batxillerat sovint se'ns obliden els indicadors de riquesa competencial, convidem al lector a passar la prova del cotó fluix per sobre d'aquest recurs! A part, també podrà detectar que s'estan desenvolupant més d'una de les dimensions competencials de secundària. Per aquells més preocupats pels continguts podran trobar-ne més d'un en aquest únic recurs:
  • Funcions a partir de taules i gràfics. Aspectes globals d'una funció. Utilització de les funcions per a la interpretació de fenòmens científics.
  • Distribucions bidimensionals. Relació entre variables qualitatives: taules creuades. Interpretació de fenòmens socials i econòmics en els quals intervenen dues variables i estudi del grau de relació que tenen: núvols de punts, correlació i regressió, interpolació i extrapolació mitjançant la recta de regressió.
  • Ús de les calculadores i fulls de càlcul o programes estadístics per al càlcul dels paràmetres i les representacions gràfiques.
  • Independència d'esdeveniments. Experiències successives i proves repetides. Probabilitat condicionada.
  • El teorema de Bolzano: un mètode per aproximar arrels.
  • ...
Però, el que fa més ric aquest recurs és la connexió amb altres matèries. És evident que aquesta activitat sense "les potes" del dibuix tècnic, la tecnologia i la física, "la nostra cadira" no seria la mateixa ni s'aguantaria de la mateixa manera (aquesta connexió és més gos llop que ós formiguer... com diria en Sergi del Moral)

Experimentar, descobrir, conjecturar, formalitzar, ... són verbs que es conjuguen durant tot aquest recurs. Us animeu? En cas afirmatiu, compartiu l'experiència al bloc!

Aquest experiment es va presentar a la XIV Jornada d'Aprenentatge de les Matemàtiques de la FEEMCAT. L'alumne Oscar Martínez va explica amb molt d'èxit tot el treball realitzat.






PD.- Properament, a l'espera d'algun suport de caràcter físic, es realitzarà una entrada a l'ARC amb els arxius per imprimir els daus i les fitxes de treball.


3 comentaris:

  1. Sou uns cracks!! Hem de construir aquest dau equiprobable!!!

    ResponElimina
  2. Vosaltres si que sou uns cracks! Visca els 4 janets de l'apocalipsi!

    ResponElimina
  3. Jordi, ara que m'ho estava mirant i estava analitzant els tipus de daus, el DAU 5, d'altura 1, podries posar entre parèntesis, que totes les cares tenen el mateix perímetre.

    ResponElimina