divendres, 6 d’octubre de 2017

Boles i números

Aquest és una altra de les experiències que vam presentar a la XIV Jornada d'Ensenyament de les Matemàtiques. Aquest any tots els alumnes de l'institut han començat realitzant experiments probabilístics i de modelització. Aquest és un dels que es va realitzar a 1r d'ESO.

El joc és ben senzill:
En una bossa hi ha 5 boles numerades de 2 al 6. N'extreiem dues alhora i les sumem, si surt parell guanyes, si surt senar perds. Té avantatge alguna opció?


Primer hem vist clar que totes les boles tenen la mateixa possibilitat de sortir, alguns han plantejat la hipòtesi de que el parell guanya ja que tenim 3 parells (2,4 i 6) i només dos senars. Altres han apuntat que a més si sumes dos parells dóna parell, si sumes dos senars també dóna parell i només quan sumes parell i senar el resultat és senar. Alguns altres diuen que el joc és just.

Primerament hem fet l'experiment una sèrie de vegades obtenint el següents resultats:


Experiment
Bola 1
Bola 2
Suma
1
5
2
7
2
2
4
6
3
4
3
7
4
6
5
11
5
6
4
10
6
4
2
6
7
4
5
9
8
5
2
7
9
4
5
9
10
6
3
8
11
4
6
10
12
3
4
7
13
6
3
9
14
2
3
5
15
5
2
7
16
4
6
10
17
2
3
5
18
5
2
7
19
4
3
7
20
4
5
9

Percentatge senars:
13/20
0,65
Percentatge parells:
7/20
0,35


Veient els resultats sembla que el senar té avantatge, això va en contra del que alguns havien conjecturat.... així que anem ara a estudiar el joc:


3 parells i 2 senars
23456
2X5678
3X789
4X910
5X11
6X




Senar6/100,6
Parell4/100,4



En contra del que pensava la majoria, resulta que el senar té avantatge. De deu resultats possibles, 6 són senars i 4 parells. Perquè passa això? Doncs perquè al extreure les boles mai podrem sumar un número amb ell mateix, i aquests resultats, que són parells, mai passaran. La intuïció ens ha fallat!!

Llavors plantegem una possible ampliació del joc. Existeix un joc just amb 5 boles si n'extreiem dues alhora?

La Jana Andreu de 1C ha estudiat les diferents combinacions de parells i senars amb un joc de 5 boles.


5 parells
246810
2X681012
4X101214
6X1416
8X18
10X

Senar 0/10 0
Parell10/101guanya

4 parells i un senar
12468
1X3579
2X6810
4X1012
6X14
8X


Senar4/100,4
Parell6/100,6guanya

3 parells i 2 senars
23456
2X5678
3X789
4X910
5X11
6X

Senar6/100,6guanya
Parell4/100,4

2 parells i 3 senars
12345
1X3456
2X567
3X78
4X9
5X

Senar6/100,6guanya
Parell4/100,4

1 parell i 4 senars
12357
1X3468
2X579
3X810
5X12
7X

Senar4/100,4
Parell6/100,6guanya

5 senars
13579
1X46810
3X81012
5X1214
7X16
9X

Senar0/100
Parell10/101guanya

Aquí teniu un resum de tots els resultats possibles:


5 parellsparell
4 parells i un senarparell
3 parells i 2 senarssenar
2 parells i 3 senarssenar
1 parell i 4 senarsparell
5 senarsparell

Algunes conclusions a les que arriben els alumnes:
- El joc mai és just, sempre guanya parell o senar
- Hi ha més combinacions que fa guanyar el parell
- Amb combinacions de 5 iguals o de 4 i 1 guanya parell, amb combinacions de 2 i 3 guanya senar

I si tinguèssim 6 boles??????????

Un bon experiment que segueix perfectament la seqüència d'experimentar, descobrir, conceptuar i demostrar.

Aquí teniu alguna imatge de la jornada en la qual vam presentar l'activitat:





Alumnes de 1r d'ESO de l'INS Baix a Mar

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada