dimarts, 10 d’octubre de 2017

Enrajolem (2)

Aquesta entrada ve enllaçada del projecte Enrajolem que es va dur a terme durant el curs 2016-17 amb l'alumnat de 1r d'ESO del centre. Tanmateix, aquest projecte parteix d'una conferència que va donar en José Antonio Mora en unes jornades de la societat catalana de GeoGebra de fa uns anys. L'activitat constava en un seguit d'activitats amb un únic objectiu: dividir una rajola quadrada en dues regions d'igual àrea. L'enunciat és prou obert per tal d'arribar a tota la DIVERSITAT de l'aula. Si el lector està interessat en veure en més detall l'activitat duta a l'aula, l'animem a entrar en l'enllaç anterior.

No obstant, aquest post va en la direcció de presentar un applet fet en GeoGebra que pot ser, inicialment, un bon suport per presentar el projecte a l'alumnat a l'aula. No obstant, té una segona mirada de més profunditat que permet treballar la periodicitat en base 4. Anem-ho a veure!

Partir de la motivació que va dur a la creació del GeoGebra és un bon punt de partida per entendre'l en la seva totalitat. La idea era fer un applet prou gran que intentés recobrir la gran majoria de propostes de rajoles de l'alumnat de 1r d'ESO per tal de veure possibles enrajolats amb un disseny donat. L'enrajolat proposat per l'alumnat havia de tenir una lògica que es pogués repetir "infinitament". Aquest fet ens va portar a pensar en el concepte de PERIODICITAT associada a la notació decimal d'un nombre racional. De fet, interessava poder treballar amb una notació periòdica que indiqués l'angle de rotació del disseny inicial (0º, 90º, 180º i 270º). Aquest problema era equivalent a pensar en xifres decimals prenent per dígits 0, 1, 2 i 3. Treballar en base 10 no ajudava a treballar només amb aquests 4 dígits. Per tant, calia associar el problema a una base diferent... LA BASE 4. Per tant, l'applet associa a cada fracció en base 10 i la seva notació decimal en base 4 amb una disposició diferent de cadascuna de les rajoles. Aquest fet està íntimament lligat amb l'article dels amics de PuntMat anomenat Decimals periòdics: en un apartat d'aquesta excel·lent entrada s'exploren els períodes en diferents bases.

Entrem a detallar les peculiaritats de l'applet. En la finestra gràfica associada al menú, l'usuari pot escollir entre 8 propostes de rajoles amb una peculiaritat en comú: les regions de cada color ocupen la mateixa superfície. De fet, hi ha molts més dissenys possibles. No obstant, els proposats venen a través de la proposta de l'alumnat de 1r d'ESO del nostre centre. Cal remarcar que l'elecció de la rajola és una mica lent (no tingueu pressa!). A més, per cada rajola, es pot determinar el color de cada regió. Per anar acabant, ens agradaria poder posar un parell d'exemples que esperem que siguin una mica més esclaridors:


  • Cap de les rajoles està rotada: Aquesta primera situació l'associarem a la fracció 0/n. En aquest cas, el decimal que es repeteix és el 0 (cal fer aquest petit abús del llenguatge amb les xifres decimals).

  • Cerquem una periodicitat cada dues rajoles: Per trobar aquesta periodicitat hem de situar-nos amb un denominador igual a 15 (de fet, 16 - 1).

  • Cerquem una periodicitat cada dues rajoles: L'exemple anterior, no ens acaba d'agradar (estèticament parlant). Ens hagués agradat que els decimals "corressin" un lloc. Com ho podríem fer? Multiplicant per 4 (la base en la qual estem treballant) "correrem" un lloc les xifres decimals.

  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles: Per trobar aquesta periodicitat hem de situar-nos amb un denominador igual a 255 (de fet, 256 - 1). A mida que anem ampliant les mires, la varietat d'enrajolats augmenta.
  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles (continuació de l'anterior): Si mantenim la fracció de l'exemple anterior i fem zoom sobre la pantalla de l'enrajolat, en canviar el nombre de rajoles per fila, l'enrajolat varia.
  • Cerquem una periodicitat cada quatre rajoles (continuació de l'anterior): Per anar acabant, podem modificar els colors. Segurament, aquest darrer exemple, té més valor estètic que matemàtic. No obstant, hem volgut posar aquesta darrera imatge per mostrar el potencial de l'applet.



OBSERVACIONS FINALS.-

Emprar els decimals periòdics en base 4 no és imprescindible per determinar la periodicitat d'un enrajolat. Però, la transversalitat que ens propicia l'ús i comprensió d'aquest applet es valora com un exercici prou complert per alumnat de nivell superior de secundària o batxillerat. Convidem al lector a experimentar amb diferents rajoles, fraccions i amplades d'enrajolats! Per fer-ho, només cal que cliqueu AQUÍ.

2 comentaris:

  1. Gràcies per la referència i sobre tot: enhorabona per la fantàstica proposta

    ResponElimina
  2. Gràcies a vosaltres per la magnífica feina que feu!

    ResponElimina