dimecres, 10 d’octubre de 2018

El triangle de Sierpinski

En César Gómez i la Lucia Freijo de 4C ens expliquen l'activitat realitzada amb el Triangle de Sierpinski, així com una mica de biografia d'aquest matemàtic polonès.


Wacław Sierpiński


 

Wacław Sierpiński va ser un matemàtic polonès que va néixer el 1882 a Varsòvia i va morir el 1969 també a Varsòvia.

El 1907 es va graduar al Departament de Matemàtiques i Física de la Universitat de Varsòvia. Després de la seva graduació, Sierpiński va començar a treballar de professor a una escola de Varsòvia.

Un temps després, l’escola va tancar, i Sierpiński va decidir anar a Cracòvia per fer un doctorat. El va aconseguir el 1908, i va ser assignat a la Universitat de Leàpolis.
A part del seu treball amb els fractals, també va fer nombroses aportacions a la teoria de conjunts,
a la teoria de nombres, a la teoria de funcions i a la topologia.

Sierpiński va publicar 50 llibres i 724 treballs.

Treball a l’aula

Vam treballar el tema mitjançant l’observació, apuntant dades i analitzant-les fins a arribar a una
fórmula general.
El triangle de Sierpiński és un objecte fractal i un dels exemples bàsics de conjunt autosemblant, una de les propietats fonamentals de les fractals. Per construir el triangle de Sierpiński se segueix l'algoritme següent: A partir d'un triangle, s'uneixen els punts mitjans dels seus costats, dividint el triangle inicial en quatre triangles. S'elimina el triangle interior. En cada un dels tres triangles que queden es procedeix
a fer el pas 1 El triangle de Sierpiński és el límit de fer el procediment anterior de manera infinita.

Ho vam fer omplint la següent taula a partir de l’evolució del triangle de Sierpinski:



Primerament, vam comptar la quantitat de triangles negres, blancs i en total que hi havia a cada pas.
Al arribar al 2n pas, ens vam adonar que el número total dels triangles al següent pas seria el número
total dels triangles blancs. És a dir, que si al 1r pas hi ha un total de quatre triangles, al 2n pas hi
haurà un total de quatre triangles blancs.

Vam continuar, i quan vam arribar al 4t pas ens vam adonar d’això: el número de triangles negres és
igual a 3 elevat a n i el número de triangles blancs és igual a 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

I com vam arribar a aquesta conclusió?
Doncs bé, si us fixeu, al pas 1 hi han tres triangles negres. Al pas 2 hi ha el triple, i així
successivament. Per tant, té sentit que a cada pas s’elevi el nombre principal de triangles negres a
un número més.
En quant als triangles blancs és una mica més complicat.
Comencem pel pas 1: tres triangles negres i un de blanc.
Pas 2: nou triangles negres i quatre de blancs. Però si us ho mireu bé, cada tres
triangles negres hi ha un de blanc més l’inicial; i aquest fet es repeteix en tots els passos.

Observant això, es pot deduir que el número total dels triangles blancs és el número total dels
triangles negres menys 1 (el triangle inicial blanc) dividit entre 2.

I lògicament, després d’això ja podíem saber quants triangles hi havia en qualsevol pas,
només calia sumar les dues fórmules: 3 elevat a n + 3 elevat a n - 1 dividit entre 2.

Seguidament, vam calcular les àrees, la superfície blanca i la superfície negra que hi havia a cada
pas (teníem com a referència que l’àrea del triangle sencer era 1).

Vam començar amb senzillesa, comptant els triangles i després expressant l’àrea en fracció.
Al pas 1 la superfície negra és ¾, al pas 2 és 9/16…
I així fins arribar al pas 5, on ja no podíem comptar els triangles, massa petits!
En aquest punt, vam aconseguir adonar-nos que el numerador de la fracció que expressa l’àrea
negra sempre és el nombre de triangles negres presents al triangle sencer (3 elevat a n), i el
denominador d’aquesta mateixa fracció sempre és la suma de tots els triangles passats a la
mateixa mida (és a dir, en el cas del pas 2, el triangle blanc del pas 1 partit en quatre triangles).

                             


Això volia dir que la superfície negra sempre seria 3 elevat a n / 4 elevat a n.

Havent arribat a aquesta conclusió, si l’àrea del triangle sencer és 1, només cal restar-li la superfície
negra per esbrinar quina és la superfície blanca. Per tant, la superfície blanca és igual a 1 - (3^n / 4^n)

Per finalitzar l'activitat vam realitzar alguns fractals a partir del treball realitzat. Aquí teniu l'exemple de
la Natàlia Martin, que ens explica a través d'una taula com creixen els quadrats en el seu fractal:





La Nerea Corrales ens proposa el seu:




Lucia Freijo i Cèsar Gómez
4C INS Baix a Mar


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada